Polygone équilatéral

droite d coupe les axes en C – ; 0 et D(0 ; 1). 2 Le milieu de [CD] est bien celui de [AB]. (E) 2x + 1 = ΂ ΃ ΂ ΂ ΃ ΃ 104 1. Appliquons le théorème de Thalès : MN BM 4–x x = , donc MN = 2 × =2– ; AS AB 4 2 MQ AM = , donc MQ = x (AMQ est aussi équilatéral…). BC AB x2 Aire(MNPQ) = MN × MQ = – = 2x. 2 4 x2 2. – + 2x = ‹ – 3x2 + 12x – 8 = 0. 3 2 6 + 213 6 – 213 5 3,155 et x2 = 5 0,845. 6 = 48 ; x1 = 3 3 Donc deux solutions (0 р x р 4) au problème posé. 105 1. d coupe (OC) au point F de coordonnées (0

Montrer que f est bijective. 2. Déterminer f (R), f (U \ {i}), f (iR \ {i}). Correction Exercice 2927 Soient a, b ∈ U distincts et z ∈ C. On note u = Correction Exercice 2928 Triangle équilatéral Soient a, b, c ∈ C distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. {a, b, c} est un triangle équilatéral. 2. j ou j2 est racine de az2 + bz + c = 0. 3. a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc. 4. 1 a−b 1 1 + b−c + c−a = 0. z+abz−a−b . a−b [002926] Montrer que u2 ∈ R. [002927] [002928]

pentagon 5. The ‘extreme and mean section’ construction 6. How to prove ‘Thales’ theorem’ Chapter 3. Greeks, practical and theoretical 1. Menaechmus’ duplication construction 2. Eratosthenes’ ‘mesolabe’ 3. Circumscribed hexagon 4. Angle bisection for polygons 5. Heron’s slot machine 6. The geocentric model 7. The chord of an angle 8. The epicycle model 9. Figure for ‘Heron’s theorem’ 10. Diagram for Ptolemy’s calculation 11. The diagram for Exercise 5 Chapter 4. Chinese mathematics 1. Simple rod numbers

vérifient a2 + b2 = 225. On en déduit : AC = 15, BC = 17, AD = 9 et DC = 12. 32 Olympiades académiques - 2009 AMIENS Exercice no 1 Enoncé Les oiseaux Initialement, n oiseaux se trouvent chacun au sommet d’un poteau, ces n sommets formant un polygone régulier à n côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces oiseaux s’envolent. Puis après quelques temps, ils reviennent se poser sur les n poteaux, mais pas nécessairement à leurs positions initiales. Deux oiseaux ne peuvent pas se poser sur le même poteau

triangle est équilatéral, il faut évaluer les égalités entre a, b et c avant de prendre une ● décision et d’afficher la nature du triangle. 5. 6ECTEURSETREPÞRESs 93 Un exemple d’algorithme : Entrée : xa et ya les coordonnées de A. xb et yb les coordonnées de B. xc et yc les coordonnées de C. Traitement a = (xb - xc)2 + (yb - yc)2 et sortie : b = (xa - xc)2 + (ya - yc)2 c = (xa - xb)2 + (ya - yb)2 si a = b si a = c afficher « le triangle ABC est équilatéral. » sinon

sortent du trou central tombent un peu plus loin de la colonne. On le vérifie par le calcul : x1 = x3 = et x2 = 4 × 1 × 3 = 2 3 ≈ 3,46 4 × 2 × 2 = 4. 91 Le point O est le centre de gravité du triangle R . 2 [DH] est une hauteur du triangle équilatéral DEF de a 3 côté a, donc DH = . 2 Le triangle OEH est rectangle en H, donc on a : OE2 = EH2 + HO2, c’est–à–dire ABC, donc OD = ⎛ a⎞ R2 = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2 ⎛ a 3 R⎞ + ⎟ . + ⎜ 2⎠ ⎝ 2 2 On résout ainsi l’équation du second degré, d’inconnue a : a

présentant les mêmes caractéristiques. 9 Si une section admet trois axes de symétrie ou plus, alors tous les axes centraux sont des axes principaux et tous les moments d'inerties par rapport à ces axes sont égaux. Exemples de sections: carrée, triangle équilatéral. 1 2 O 1 Z' α 2 Z Y Y' Fig. E2.6 Chapitre 3 EFFORTS INTERNES 3.1 GENERALITES On appelle forces extérieures ou charges les forces appliquées connues sur une structure donnée. Suivant le cas, ces charges peuvent-être réparties avec une

constante sur toute leur longueur et ne présente qu'un seul creux fermé, est en forme de cercle, d'ovale, de carré, de rectangle, de triangle équilatéral ou de polygone convexe régulier, et dont les parois ont une épaisseur constante. On considère également comme tubes et tuyaux les produits de section transversale carrée, rectangulaire, triangulaire équilatérale ou polygonale convexe régulière, qui peuvent présenter des angles arrondis sur toute leur longueur, pour autant que les sections transversales

trou central tombent un peu plus loin de la colonne. On le vérifie par le calcul : x1 = x3 = et x2 = 4 × 1 × 3 = 2 3 ≈ 3,46 4 × 2 × 2 = 4. 91 Le point O est le centre de gravité du triangle R ABC, donc OD = . 2 [DH] est une hauteur du triangle équilatéral DEF de a 3 côté a, donc DH = . 2 Le triangle OEH est rectangle en H, donc on a : OE2 = EH2 + HO2, c’est–à–dire ⎛ a⎞ R2 = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2 2 ⎛ a 3 R⎞ + ⎟ . + ⎜ 2⎠ ⎝ 2 On résout ainsi l’équation du second degré, d’inconnue a : a 2 + a R 3 3R 2 − =0

together are not sufficient Answer 4. Is x negative? (1) xy < 1 (2) y is positive A. B. C. D. E. 1 alone, not 2 alone 2 alone, not 1 alone 1 and 2 together (need both) 1 alone or 2 alone 1 and 2 together are not sufficient Answer 5. Can a polygon be divided into three triangles? (1) It is a pentagon (2) It has five sides A. B. C. D. E. 1 alone, not 2 alone 2 alone, not 1 alone 1 and 2 together (need both) 1 alone or 2 alone 1 and 2 together are not sufficient Answer 6. Is x positive