Polynôme cyclotomique

FONCTIONS TRINOMES OU FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- FONCTIONS TRINOMES 1- Définitions et forme développée : - On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction f définie sur IR par f (x )=a x 2+b x+c où a est non nul. - L'expression a x 2+b x+c est appelée polynôme du second degré ou trinôme. Exemples : fonctions f, g et h définies sur IR par : f (x )=3 x 2 – 2 x+1 ; g ( x)=( x+1)(3 x−1) et h( x)=( x+1)3 – (x−1)3 sont des fonctions trinômes.

en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition

Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme) Deux polynômes sont égaux si et seulement

Polynômes 1) Définitions P(x)=2x+1 est un polynôme de degré 1 Q(x)=[pic] est un polynôme de degré 2 [pic] n’est pas un polynôme On appelle monôme de degré n toute écriture de la forme [pic], ou [pic] est un réel fixé et x une variable réelle. On appelle polynôme P toute somme de monômes, ou encore toute écriture de la forme [pic] . n s’appelle le degré du polynôme (le plus grand entier ). Coefficients : Les réels [pic] sont appelés les coefficients du polynôme. Quelques

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

second degré -I- Polynôme : définition : Exemples : On appelle polynômes une expression de la forme axn+bxn−1+cxn−2+dxn−3+⋯+αx2+βx+γ où a, b, c,d, ..., α , β , γ sont des réels donnés appelés coefficients du polynôme et x est un réel variable. Le plus grand exposant attribué à la variable x, ici n, est appelé degré du polynôme. x4+3 x2+1 est un polynôme de degré 4, 5 −0 5 x 4 est aussi un polynôme de degré 4 dans ce cas on l'appellera monôme de degré 4, −2 x+3 est un polynôme de degré 1, x4+

en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition

4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP