Polynôme cyclotomique

Existence et unicité Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n. Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0. Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet

a1,...,an des réels (an≠0). Une fonction polynôme (ou un polynôme) est une fonction P définie sur R qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme unique : P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 L'entier n est le degré de P. Les réels a0,a1,...,an sont les coefficients de P. Le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls) n'a pas de degré. La fonction P définie pour tout réel x par P(x)=3x4−x2+10x−5 est un polynôme de degré 4. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement

Fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction f définie sur R est une fonction polynome du 2nd degré s’il existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple : Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5

− 2) 2 et, en développant, le polynôme caractéristique s’écrit : χ A (λ) = λ 4 – 2 λ3 – 3 λ 2 + 4λ + 4 . or il est classique que χ A (λ) = λ 4 – tr(A) λ3 + … + dét A ; on retrouve donc bien tr(A) = 2 et dét A = 4. d) D’après le théorème de Cayley-Hamilton, χ A (A) = θ et donc (A + I)2 (A − 2I) 2 = θ, ou encore [(A + I)(A − 2I)]2 = θ ; on vérifie aisément que (A – I)(A + 2I) = A 2 – A – 2I = θ, de sorte que χ A et P défini par P(A) = A 2 – A – 2I sont des polynômes annulateurs de A. e) χ A (A)

Son polynôme de rétroaction f est le polynôme de F2 [X ]: f (X ) = 1 + c 1 X + c 2 X 2 + · · · + c L X L . On peut alors écrire le développement en série formelle de la suite (s n )n≥0 sous forme d’une fraction rationnelle. 18 Proposition 2 La suite (s n )n≥0 est produite par un LFSR dont le polynôme de rétroaction est f (X ) = 1 + c 1 X + c 2 X 2 + · · · + c L X L si et seulement si son développement en série formelle s(X ) = n≥0 s n X n s’écrit g (X ) f (X ) où g est un polynôme de F

que l’équation 2x² - 3x + k = 0 ait deux solutions distinctes. Déterminer les réels k pour que l’équation 3x² + kx + 6,75 = 0 n’ait pas de solution réelle. Existe-t-il une (ou des) valeur(s) du paramètre m telle(s) que le polynôme f(x)= (m²-4) x²+ (m²+m-2) x+m+2 soit le polynôme nul ? On considère l’équation suivante : (m – 1) x² - 4mx + 4m – 1 = 0 a) b) c) Pour quelle valeur de m cette équation est elle du second degré ? On suppose que m est différent de 1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle

ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS 1 Signaux d’entrée Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2 A. 1er ordre à constante de temps FONCTION DE TRANSFERT : H= K 1+ T s 1 s+ 1 T REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K K = × 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T t y I (0 ) = K T K T y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote

MAT1702A M´thodes Math´matiques II e e Hiver 2012 Yasmine Samia Universit´ d’Ottawa e Vendredi, 30 Mars 2012 Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 1 / 25 Annonces Devoir 4: Affich´ sur le site web. e Dˆ le 7 Avril (5:00 am). u ...en format .pdf seulement!! Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 2 / 25 Rappel: Comment trouver les valeurs propres, les vecteurs et espaces propres?