Polynôme d'endomorphisme

de polynˆmes o Soient P,Q ∈ IK[x], alors ∀x ∈ IK (P + Q) (x) = P (x) + Q(x) Remarquons que d◦ (P + Q) ≤ max (d◦ P,d◦ Q), d◦ = degr´. e On a P + Q = Q + P , (P + Q) + R = P + (Q + R), 0 + P = P et P + (−P ) = 0. 2 1.1.1.2 ˆ CHAPITRE 1. POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES Produit de polynˆmes o n X p=0 m X p=0 Soient P,Q ∈ IK[x], (P Q)(x) = P (x)Q(x). Si P (x) = ap xp et Q(x) = bp xp , alors n+m X p X Ă (P Q)(x) = ak bp−k xp Ł p=0 k=0 d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On

pour tout scalaire a ∈ K et tout polynˆme P de o degr´ n, on a la d´composition du polynˆme P ◦ (X − a) sur la base canonique : e e o P (X + a) = P (a) + P (a)X + · · · + P (n) (a) n X n! Th´or`me 14.26 : Troisi`me formule de Taylor e e e Soit un polynome P ∈ K[X] (K = Q, R, C), avec n = deg(P ). Soit a ∈ K. On a la formule de Taylor an (n) a2 P P (X + a) = P + aP + P + · · · + 2! n! D´finition 14.12 : Ordre de multiplicit´ d’une racine e e Soit un scalaire α ∈ K. On dit que α est racine d’ordre k

scalaire a ∈ K et tout polynˆme P de o degr´ n, on a la d´composition du polynˆme P ◦ (X − a) sur la base canonique : e e o P (X + a) = P (a) + P (a)X + · · · + P (n) (a) n X n! Th´or`me 14.26 : Troisi`me formule de Taylor e e e Soit un polynome P ∈ K[X] (K = Q, R, C), avec n = deg(P ). Soit a ∈ K. On a la formule de Taylor an (n) a2 P P (X + a) = P + aP + P + · · · + 2! n! D´finition 14.12 : Ordre de multiplicit´ d’une racine e e Soit un scalaire α ∈ K. On dit que α est racine

scalaire a ∈ K et tout polynˆme P de o degr´ n, on a la d´composition du polynˆme P ◦ (X − a) sur la base canonique : e e o P (X + a) = P (a) + P (a)X + · · · + P (n) (a) n X n! Th´or`me 14.26 : Troisi`me formule de Taylor e e e Soit un polynome P ∈ K[X] (K = Q, R, C), avec n = deg(P ). Soit a ∈ K. On a la formule de Taylor an (n) a2 P P (X + a) = P + aP + P + · · · + 2! n! D´finition 14.12 : Ordre de multiplicit´ d’une racine e e Soit un scalaire α ∈ K. On dit que α est racine