Polynôme d'endomorphisme

algébriques fondamentaux 1.1 Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Structures algébriques fondamentales . . . . . . . 1.3 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement 1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . 1.6 Topologie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

diagonalisable et inversible, et qu’il existe un entier k tel que f k = g. Prouver que f est diagonalisable. Exercice 18 - Diagonalisation simultan´e - L2/Math Sp´ e e Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u1 , . . . , um une famille d’endomorphismes diagonalisables de E commutant deux a deux. Montrer qu’il existe une base de E diagonalisant ` tous les ui . Exercice 19 - Diagonalisation et sous-espaces stables - L2/Math Sp´ e Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K = R ou C

DECOMPOSTION PRIMAIRE D’UN POLYNOME 1 Réduction d’endomorphismes Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées

préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ............

Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de trois exercices indépendants. 1/8EXERCICE 1 Endomorphisme cyclique Présentation générale Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d’endomorphisme cyclique dont la définition est donnée ci-dessous. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N∗. On rappelle que pour tout entier p ∈ N∗, on note : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f ◦ f , f p = f ◦ · · · ◦ f����������������

............................................ 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse .........

heures : 22,5 h Cours + 22,5h TD Objectif : L’objectif de ce cours est d’introduire les concepts de base en algèbre et en arithmétique élémentaire. Descriptif :  Polynôme et fractions rationnelles. - Généralités sur les polynômes d’une variable à coefficients réels ou complexes. - Racines d’un polynôme. Procédé d’écriture d’un polynôme selon les puissances de (x-a). - Division euclidienne dans R[X], C[X] ; factorisation. - Décomposition en éléments simples dans R(X), C(X).  Groupes, Anneaux et Corps

fonctions à valeurs complexes cas de t → e αt et de t → e ϕ(t) . 1- Rappel du théorème fondamentale. Fonctions de classe C p . 2 - Tableau des primitives usuelles 3 - Intégration par parties et théorème de changement de variable.. 4 - Produits de polynômes par une exponentielle ou une fonction trigonométrique (classique ou hyperbolique). 5 - Fractions rationnelles : calcul des primitives de fonctions homographiques, de l’inverse et de quotient de trinômes du second degré. 6 - Fonctions trigonométriques

vecteurs d'un espace vectoriel F. Alors il existe une et une seule application linéaire u de E dans F telle u(ei) = fi. Elle est définie par u(λ1e1 + ... + λpep) = λ1f1 + ... + λpfp. Si f est bijective, on parle d'isomorphisme. Si E = F, on parle d'endomorphisme. Si E = F et f bijective, on parle d'automorphisme. Si F = , on parle de forme linéaire. On note L(E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F. On note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E. On note E* l'ensemble des formes linéaires

par v. Polynômes d’endomorphismes Soit u ∈ L(E). On définit l’application φu : K[X] → L(E), φu (P ) = P (u) C’est un morphisme de la K-algèbre K[X] dans la K-algèbre L(E). im φu est une sous-algèbre commutative de L(E) appelée algèbre des polynômes de u et notée K[u]. ker φu est un idéal de K[X] appelé idéal annulateur de u et noté Ju Décomposition des noyaux Théorème Soit u ∈ L(E), P1 , · · · , Pp des polynômes de K[X] premiers entre eux deux à deux et P le produit de ces polynômes. On a alors