Polynôme d'endomorphisme

existent, comment peut-on les déterminer sans factorisation ? Des formules permettent de répondre à ces questions. Il faut bien les connaître pour pouvoir les appliquer sans faire d'erreur de calcul. Il ne faut pas oublier également qu'une fonction polynôme du second degré se représente toujours par une parabole. De la position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, on peut déduire si la fonction s'annule et quels sont les intervalles où son signe est constant. 1. Comment détermine-t-on

Fiche de révision : Équations 1. Quelques rappels Une équation est un problème qu’il faut résoudre. Pour cela, le but est de déterminer les valeurs que peuvent prendre les inconnues afin de satisfaire les conditions qui ont été posées par le problème. On note couramment la donnée inconnue par . La méthode consiste à isoler d’un côté de l’équation les termes contenant l’inconnue. Pour cela, on effectue de chaque côté de l’équation des opérations simples. Ensuite, on calcule tout ce qui est

Lycée Camille SEE 03 octobre 2011 CONTRÔLE N O 1 1re ES 2 Durée 2 heures EXERCICE 1 (3 points) Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par : P(x) = ax2 + bx + c avec a = 0. 1. Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ? a) a > 0 et ∆ < 0. b) a < 0 et ∆ = 0. c) a < 0 et ∆ < 0. d) La courbe représentatve

FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE I. Fonctions polynômes 1. Définition |1. On appelle fonction polynôme ou polynôme de degré n, [pic], toute fonction définie sur [pic], dont l’écriture peut se mettre sous la forme : | |x ) a n x n + a n-1 x n-1 + … + a1 x + a0 où a0 , a1 , … , an sont n + 1 réels et an ≠ 0. | |2. Le terme ap xp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P), le degré du polynôme.

Polynˆmes et nombres complexes o Table des mati`res e 1 Polynˆmes o 1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . . o 1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles e e 1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . . o e e 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 7 2 Nombres complexes 2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 20 3 Suites 3.1 Exercices

z16 3 2 3 3 2 24 5 24 = = 201-016-50 Les polynômes Soit le polynôme suivant : −4x2 y3 − 6x2 y2 − 4xy + 5 . a) Quel est le terme constant ? b) Quel est le degré et quel est le coefficient du premier terme ? c) Quel est le degré et quel est le coefficient du deuxième terme ? d) Quel est le degré et quel est le coefficient du troisième terme ? e) Quel est le degré du terme constant ? f) Quel est le degré du polynôme ? Produit de polynômes Effectuer et simplifiez votre réponse s’il y a lieu:

suppose que tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 − 5)2 − 24. Correction 7. 1. Soit α β ∈

Les polynômes A° Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une

a et s’annule si x = x1 . (c) si ∆ > 0 alors ax2 + bx + c a deux racines x1 et x2 et on obtient le tableau de signes suivant : x −∞ x1 0 signe de −a x2 0 +∞ signe de a ax2 + bx + c signe de a FONCTIONS POLYNOMES : Dans cette partie on examine les méthodes d’étude d’une fonction polynôme du second degré et du troisième degré. 1. Le plan d’étude d’une fonction : (a) calcul de la dérivée f de f . (b) étude du signe de f (x) sur l’intervalle d’étude. (c) construction du tableau de variations de

10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non