Polynôme d'endomorphisme

E un espace vectoriel de dimension n �nie et p un projecteur. On dé�nit l'application Φ pour tout f ∈ L (E) par Φ(f) = p ◦ f ◦ p. 1. L'application linéaire Φ est-elle diagonalisable ? 2. Déterminer la dimension des sous-espaces propres de Φ. II. Polynôme annulateur Exercice 4. [ccinp] ('21) Soit f ∈ L (R3) tel que f3 = Id et f 6= Id. 1. Montrer que 1 est vecteur propre de f . 2. Montrer que Ker(f − Id)⊕Ker(f2 + f + Id) = R3. 3. Déterminer une base B de R3 telle que MatB(f) = 1 0 0 0 0 −1 0 1 −1

K-espace vectoriel des fonctions de classe C k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. • Exemples Exercice 1.1 On considère une suite (Pk )k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans N on a deg Pk = k. 1) Montrer que pour tout n dans N la famille (Pk )0 2) Montrer que (Pk )k∈N est une base de K [X ]. n k n est une base de Kn [X ]. 1) Soit (l1 , . . . , ln ) dans K tel que (1) n k=1

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

di¤érentielle de même type que (Pf ), à valeurs dans l’espace vectoriel des endomorphismes de Rn . Équations linéaires à coe¢ cients constants Dans le cas où les coe¢ cients sont constants, la résolvante s’exprime simplement comme une exponentielle d’endomorphismes: 19 Résumé du chapitre 4 Intégrales premières, EDP Intégrales premières Soit f : U (E) R Rn ! Rn une fonction continue et soit l’équation di¤érentielle x0 = f (t; x) Une intégrale première de (E) toute fonction : U 0 U ! R; de classe C

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances

II Arithmétique 34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes

Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 225 225 226 227 228 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 165 165 168 170 172 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 233 233 236 239 241 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

mal à démarrer ? Corrigés des exercices Z 231 231 233 236 238 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 169 169 172 174 176 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Algèbre 19 2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

d´composition en facteurs premiers n’est e pas exigible des ´tudiants. e On g´n´ralisera en cours d’ann´e au cas d’´l´e e e ee ments qui commutent dans les anneaux de matrices ou d’endomorphismes. xn − y n = (x − y) k=0 xn−k−1 y k . Somme des n premiers termes d’une suite g´om´trique. e e ` ´ ˆ II. ALGEBRE LINEAIRE ET POLYNOMES L’objectif est double : - Acqu´rir les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension finie (ind´pendance lin´aire, bases, e e e dimension, sous-espaces vectoriels