Produit fini

Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité Variables aléatoires réelles. Variables aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires

variable : |En fonction de la nature de sa distribution, une variable aléatoire est dite discrète ou continue. | Variable discrète 1 Définition Variable dont le référentiel est connu - ensemble fini ou infini mais dénombrable – (souvent des valeurs entières ou des nombres isolés). Cette variable est toujours définie dans R. ( X ( { 1, 2, 3…n] 2 Probabilité d’une variable aléatoire discrète |Exemple : Soit l’épreuve « Lancer d’un

s’agissait alors d’applications (ou fonctions) dont les ensembles de départ et d’arrivée étaient l’ensemble des réels R ou des parties de R. En combinatoire, la définition est la même, mais maintenant les ensembles de départ et d’arrivée ont un nombre fini d’éléments. 1 Propriété 1 : Le nombre d’applications d’un ensemble à p éléments p dans un ensemble à n éléments est n . La démonstration de cette propriété se fait comme précédemment. A partir du premier élément au départ, on peut lancer n flèches

Pourcentages 1. Part en pourcentage Définition Soit E un ensemble fini (que l'on appellera ensemble de référence) et F une partie de l'ensemble E. La part en pourcentage de F par rapport à E est le nombre : On dit également que F représente t% de E. Remarques * 5%, et 0,05 sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale). * On est en présence d'une situation de proportionnalité que l'on peut représenter par le tableau suivant : t | nombre

opération rapide –  Rapide (débit élevé) : en général, nombre faible de xors ( 2 !) •  Applications: –  chiffrement (pas seuls ! avec des NLFSRs, des Sbox etc ) –  générateurs pseudo-aléatoires (non cryptographique), compteurs, arithmétique corps fini –  détection et correction d’erreurs 57 4-bit LFSR binaire Q4 Q D Q3 Q D Q2 CLK •  Etat = valeur des registres [Q4,Q3,Q2,Q1] •  Etat à t+1 = “Left-shift circulaire” état à t suivi de xor avec bit le plus à gauche •  Exemple:

EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Les coefficients du binôme sont notés np . Un arrangement de n objets pris p à p est noté Apn . Si A est un ensemble fini, on notera |A| ou card A le nombre d’éléments de A. Si a et b sont des entiers tels que a ≤ b, on désigne par [[ a, b ]] l’ensemble [ a, b ] ∩ Z. Le symbole ⊥ ⊥ indique l’indépendance d’événements ou de variables aléatoires. On désigne par AC le complémentaire de A ou l’événement contraire de A. On

n, et retournant la valeur de dn . Problème 2 – Théorème de Burnside Le but de ce problème est l’étude des produits semi-directs de groupes, et l’étude de conditions pour qu’un groupe soit un produit semu-direct de deux sous-groupes donnés. Dans la dernière partie, on montre un théorème de Burnside, montrant que, sous certains conditions, un groupe G peut être décrit comme produit-semi-direct par un de ses p-sousgroupes de Sylow. Tous les groupes considérés dans ce problème sont considérés

ensemble x de X, f (x) ∈ e x. Autrement dit : ∀X = ∅, ∃f : X −→ Y ∈X Y |∀x ∈ X, f (x) ∈ x. Existe-t-il une fonction de choix sur tout ensemble ? Nous pouvons d’ores et d´j` affirmer que la r´ponse est oui si l’ensemble est fini : ea e Proposition. Soit X un ensemble fini d’ensembles. Alors, il existe une fonction de choix sur X. D´monstration. Soit n le cardinal de X qui est donc en bijection avec ]0, n]. e Montrons, par induction sur n que X poss`de une fonction de choix. e 7 Pour n = 1, X

probabilité : Variable aléatoire discrète : Loi de probabilité discrète Chapitre 1 : Analyse combinatoire et dénombrement I . Intuition On va travailler sur des ensembles mathématique ( a,b,c,d ) ; ( 1,2,3,4 ) on note souvent un ensemble , cet ensemble fini est composé de N élément, on dit alors que cardinal de (  ) = N ( nombre total d’élément dans l’ensemble  ). L’objectif du chapitre est de faire du dénombrement sur les ensembles. A . Définition L’analyse combinatoire a pour but le dénombrement

efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv´e d’un ´element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. On voit tout de suite deux difficult´es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´efini “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d´efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´ediat que la d´efinition donn´ee co¨ıncide avec l’id´ee intuitive que l’on a d’un ensemble fini (c’est en fait vrai)