Projection orthogonale

surpression est donnée par la formule de Laplace qui s'écrit dans le cas d'une bulle : 4A ∆P = R Cette formule peut se généraliser au cas d'une surface de courbure quelconque en définissant localement deux rayons de courbure suivant deux directions orthogonales (cf. Pérez p. 388 ou Fleury Mathieu p. 320). La formule de Laplace s'écrit alors :  1 1  ∆P = A  +  R R  2   1 II EXPERIENCES QUALITATIVES 2.1 Mise en évidence du phénomène On illustre par une expérience simple l'apparente contradiction

que ker p et Imp sont des parties ferm´es. e b. Montrer que N (p) 1 c. Quand a-t-on N (p) = 1? 20 d. Montrer que si la s´rie de fonctions de terme g´n´ral pn avec pn projecteur orthogonal, converge simplement vers e e e p, montrrer que p est un projecteur orthogonal. e. Trouver une suite de projecteurs orthogonaux pn non nuls convergeant vers 0 2.3 TPE S(C) → S(C) n k=1 εk k )n TPE 1 Soit Φ : (εn )n → ( a. Que peut-on dire de Φ((1)) puis de Φ((−1)n )et de Φ((j n )) b. On suppose

courbe Soit f une fonction positive sur un intervalle [ a ; b ] . (c’est à dire que pour tout x réel, f ( x ) ≥ 0 ) Mathématiques Terminale ES – V06/09 – page 17 © Complétude 2009/2010 → → Cf est sa courbe représentative dons un repère orthogonal ( O , OA , OB ) . L’unité d’aire est le rectangle OACB . L’aire du domaine D délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses, la droite d’équation x = a et la droite d’équation x = b est : ∫ y b a f ( x ) dx (en unités d’aire) On dit

3. L’analyse multidimensionnelle des données 1. L’Analyse en Composantes Principales L’ACP passe par des «photographies» (appelées aussi cartes factorielles) qui représentent des projections des individus et des variables effectuées sur les plans retenus. Chaque plan factoriel est défini par 2 axes orthogonaux. Le taux d’inertie d’un axe est la part de l’inertie totale expliquée par cet axe. Il indique le pourcentage d’informations restituées par le même axe. Chaque axe factoriel correspond

ÓÑÓÖÔ ×Ñ ×Ø ×ÙÖ Ø Ú × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ò ÓÑÓÖÔ ×Ñ ¾ Ä ´ µ Ø Ð ÕÙ ¾ ·¾  ¿Á ËÓ Ø ÙÒ Ã ¹ ºÚº¸ ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ ×Ñ ¨ ÁÑ º ÓÒÒ Ö ÙÒ ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ð ´ÁÑ µ ´µ ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ñ Ò Ù Ò ¾¼¼¿ Ï ÐØ Ö ÔÔ Ð est lin´eaire. Ò ¼µ ¼µ µ ´ ¼µº µ ´ ¼µº La projection parall`ele¼ donc ¼ donc La r´ eciproque est imm´ ediate. ´ µ   Á µ ¨ à ִ · ¿ Á µº à ִ on peut ´ ecrire Ü ½ ´bµ º ÇÒ ÒÓØ Ð³ Ò ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ø ÃÖ est quelconque, sinon ¾ Ä ´ µ¸ ÓÒ ´ Æ ¾ Ä ´ µ¸ ÓÒ ´ Æ ¼º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¦ Ú ¾ ℄ ´¼½µ Ces deux

L’expérience que nous allons décrire est à la base de la mécanique quantique. 1) Caractère ondulatoire de la lumiére Rappelons que la lumière est une onde. Les grandeurs physiques qui vibrent sont un champ électrique E et un champ magnétique B orthogonaux entre eux et à la direction de propagation. Ils se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière (c = 3.108 m.s-1). Les ondes ont une double périodicité, temporelle (période T en s et fréquence  = 1/T en Hz) et spatiale. La distance parcourue

typologie graphique (mapping) :regroupement des individus relativement semblables  Analyse en Composantes Principales:Étapes Première étape : projeter le nuage de points dans un espace à 2 ou 3 dimensions Deuxième étape : Mesure de la qualité de la projection - Variance expliquée cumulée (au moins 60 % pour une image fidèle) - Qualité de représentation pour chacune des variables (au moins 60 % pour une image fidèle)   Analyse en Composantes Principales:Étapes Troisième étape : Nommer les axes (découverte

→ → − parallélogramme construit sur les vecteurs → a , b ,− c. → − → − → → − → → → → → Fixons − c =→ co . On montre en géométrie que V(− a , b ,− co ) = − u ·− co A(− a , b ) où − u − → − → est un vecteur de norme 1 orthogonal au plan engendré par les vecteurs a et b et − → → → − u ·− co désigne le produit scalaire de − u et → co . Représentation graphique → − − → → − En fixant − a =→ ao et b = bo , on obtient des formules analogues, d’où il vient

ral 1 − cor(X j , X k )2 . e e e e D’autres matrices d´ finissent des dissemblances entre variables : 1 − cor(X j , X k ) faisant intere venir la corr´ lation lin´ aire (Pearson) ou celle calcul´ e sur les rangs (Spearman). e e e Factorisation et projections Beaucoup des m´ thodes propos´ es proposent la recherche de facteurs associ´ s a la construce e e ` tion de nouvelles variables d´ corell´ es obtenues par combinaison lin´ aires des variables initiales e e e et optimisant un crit` re : la variance

Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction]