Projection orthogonale

cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et (e1, e 2 , e3 ) est une base orthonormée directe de E . 1.a a 2 + b 2 + c 2 = 1     Montrer que T (a, b, c) est une matrice orthogonale ssi b 2 + 2ac = 0 .    b(a + c ) = 0    En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à F . Préciser, parmi ces matrices celles dont le déterminant est positif. On note u l’endomorphisme de E de matrice B dans la base (e1, e 2 , e3 ) . Reconnaître u , et préciser ses caractéristiques

Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes

coordonnées GPS ...................... 4.3 Systèmes de coordonnées locaux ........................ 4.4 Le problème des altitudes .................................... 4.5. Transformations .................................................. 4.6 Projections cartographiques et coordonnées planes ....................................................................... 1. Définition et but du GPS ........................... 5 2. Description succincte du système .......... 6 2.1. Le secteur spatial

fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire pour tout entier , ) de E n . Polynôme de meilleure approximation quadratique Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un

−a + 2 = b b b −1 1 1 1 −1 1 c 2 2 + c −2 + c ￿ ￿ ￿ ￿ a + b + c −a + c d1 0 = = −a + c a − b + c 0 d2 d’o` −a + c = 0, c’est-`-dire a = c. u a 144 ANNEXE A. CONIQUES Exercice A.8. a) Puisque Rθ est une matrice orthogonale, on a RT = R−1 . D´montrons l’affirmation par induction. Si e θ θ n = 2, on a ￿ ￿2 D2 = RT ARθ θ ￿ ￿￿ ￿ = R−1 ARθ R−1 ARθ θ θ = R−1 ARθ R−1 ARθ θ θ = R−1 AARθ = R−1 A2 Rθ . θ θ Supposons RT An Rθ = Dn vrai pour n et v´rifions

est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour

= 1/2(u + u ) + 1/2(u − u∗ )). • On dit qu’un automorphisme u de E est orthogonal ssi u admet un adjoint et u∗ = u−1 . D´finitions . — On dit qu’un endomorphisme u de E est normal ssi u admet un adjoint et e u et u∗ commutent. Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal est normal. e e • Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est

Histoire : Les précurseurs du cinéma Dans cette page... 1. Le mouvement 2. Les projections lumineuses 3. Les sources d'éclairage 4. La photographie 5. La pellicule 6. La couleur 7. Le son Le cinéma est né de la convergence de diverses techniques. Certaines, comme l'étude du mouvement, remonte à l'antiquité ; d'autres, comme l'enregistrement du son, ne sont apparues qu'au XIX ème siècle. Mais ces différentes découvertes ne se sont pas réunies une à une pour former

TSTLb 2014-2015 DEVOIR MAISON : LA MENTHE POIVRÉE 1. 1.1 1.2 Préliminaires Un seul groupement caractéristique : –OH : groupement hydroxyle L’acide éthanoïque (donnée dans énoncé) 4 1+0.5 0.5 1.3 1 1.4 1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3. 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 Etude de la synthèse de l’éthanoate de menthyle Qr = [éthanoate de menthyle] . [eau] / [menthol] [acide éthanoïque] A l’instant initial, Qr,i = 0 car absence

Pour analyser un film, il faut connaitre : Le plan : c’est au cinéma, la plus petite unité de base qui correspond à la portion de film imprimé par la caméra entre le début et la fin d’une prise. Sur une bobine de film terminé, vous voyez quoi des coulures sont collées les unes à côtés des autres. Les composantes d’un plan : La durée du plan = variable en fonction de la caméra utilisé L’angle de prise de vue = une vue frontale (caméra en face) ou prise de vue latéral (Ex : profil) ou prise de