Quadrique

δ > 0, γ est une ellipse  δ = 0, γ est une parabole   δ < 0, γ est une hyperbole est une ellipse de foyers F et F ’. Courbes particuli`res en polaires e Pour d´terminer ses caract´ristiques, on adapte la m´thode de r´duction des quadriques. e e e e (4.1) Droite en polaires. r = (3.2) Paraboles. • La courbe γ d’´quation y2 = 2px est la parabole de foyer F ( p , 0) et de directrice D : x = − p . e 2 2 • La tangente ` γ en son point (x0 , y0 ) admet l’´quation a e

plan Courbes de l'espace 227 6.2.1 6.2.2 6.2.3 227 229 231 Généralités Tangente en un point Abscisse curviligne Surfaces 235 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 235 238 244 252 261 Généralités Plan tangent en un point Surfaces usuelles Quadriques Surfaces réglées, surfaces développables Exemples de recherche de courbes tracées sur une surface et satisfaisant une condition différentielle 267 V Table des matières Solutions des exercices VI Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4

Projection d’une conique sur un plan . . . . . . 82 82 82 82 83 83 84 85 85 86 87 87 87 89 89 89 90 91 93 . . . . . . . . . . III Géométrie 67 67 67 67 45. Quadriques 45.1. Equations réduites . . . . . . . . . . . . 45.2. Intersection avec un plan . . . . . . . . . 45.3. Identification d’une quadrique . . . . . 34. Barycentre 34.1. Barycentre de p points pondérés . . . . 34.2. Associativité du barycentre . . . . . . . 35. Vecteurs du plan et de l’espace 35.1. Produit scalaire

sym´trique au e moyen d’une matrice orthogonale. u(x)|x = r(u), o` r(u) est la plus grande valeur propre de u. u e) Application aux coniques et aux quadriques Recherche d’une ´quation r´duite d’une conique d´finie e e e par une ´quation cart´sienne dans un rep`re orthonormal ; e e e exemples d’une telle recherche pour une quadrique. Description des quadriques usuelles (en dimension 3) d´finies par une ´quation cart´sienne r´duite en e e e e rep`re orthonormal : ellipso¨ e ıdes, hyperbolo¨ ıdes (` une a

Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . 8.3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Matrices définies positives . . . . . . . . . . . 8.5 Applications aux coniques et quadriques . . . 8.6 Chapitre 8 sous Mupad . . . . . . . . . . . . 8.7 Tracé de coniques sous Matlab . . . . . . . . 8.8 Tracé de quadriques sous Matlab . . . . . . . 8.9 Exercices sur le Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

antisym´trique, Sθi doit ˆtre antisym´trique, ce qui impose S θi = αi .J. e iii- Si u est orthogonal, les valeurs propres de u sont −1 ou +1, et u induit une isom´trie sur les e Ei , donc les ρi peuvent ˆtre choisis ´gaux a 1. e e ` 2 Applications. Quadriques, norme des op´rateurs lin´aires en dimension finie, structure locale e e du graphe d’une application R2 → R deux fois diff´rentiable au voisinage d’un point singulier non e d´g´n´r´, th´orie de Morse. e e e e e 2.3. Endomorphismes orthogonalement

bilinéaires symétriques 1.2 Produit scalaire 1.3 Orthogonalité Espaces euclidiens 2.1 Bases orthonormales 2.2 Projections orthogonales 2.3 Adjoint d’un endomorphisme 2.4 Réduction des endomorphismes autoadjoints 2.5 Application aux coniques et aux quadriques Espaces préhilbertiens complexes, espaces hermitiens 3.1 Espaces préhilbertiens complexes 3.2 Espaces vectoriels hermitiens 2 3 PARTIE 5 – Analyse et géométrie différentielle 2 Chapitre 1 – Suites de fonctions 1 Espaces vectoriels normés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Déformée polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.1 Déformée parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.2 Déformée quadrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme réduite de la courbe de ambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution

orthogonale. Caractérisation bifocale des ellipses. 4 - Hyperboles : équation réduite, paramétrisations, centre, axes, asymptotes, sommets, foyers. Tangentes. Caractérisation bifocale des hyperboles. Lien avec la fonction inverse. 5 - Réduction des quadriques Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Classification des coniques avec le discriminant B 2 − 4AC. - Fin de la première partie du cours - Page 3 sur 11 PCSI 2009-2010 Programme de Mathématiques Lycée Marceau 9. Vocabulaire de base A)

courbes 2e année 240 Isométries du plan et de l’espace 1re année 225 Généralités sur les surfaces 2e année 242 244 247 249 Similitudes directes du plan 1re année 228 230 Surfaces usuelles 2e année Coniques 1re année Quadriques 2e année VIII Partie 1 Analyse dans 1 1re année Nombres réels 1. 1.1 Premières propriétés Corps ordonné On dit que l'ensemble R des nombres réels est • un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec