Roman Vraisemblance

(réel positif) inconnu. On tire un échantillon X1; ::;Xn i.i.d de X. (1) Reconnaître la loi de X. (2) Donner les caractéristiques (espérance et variance) de X et celle de la moyenne empirique (3) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de α. (4) Montrer que l'estimateur obtenu est sans biais et convergent. (5) L'estimateur obtenu est-il efficace.

param`etres 97 5.2. Comparaison d’estimateurs 100 5.3. M ́ethode des moments 105 5.4. M ́ethode du maximum de vraisemblance 107 5.5. Comportement asymptotique de la fonction de log-vraisemblance 112 5.6. Consistance de l’estimateur du maximum de vraisemblance 114 5.7. Mod`eles statistiques r ́eguliers 117 5.8. Normalit ́e asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance 123 5.9. Comparaison asymptotique d’estimateurs 125 5.10. Exercices 126 Chapitre 6. Tests d’hypoth`eses et r ́egions

est le terme d’erreur (aov seulement, modèle II) E.8 Modèles lm Modèle linéaire glm Modèle linéaire généralisé aov Analyse de variance lme Modèle linéaire à effets mixtes nlme Modèle non-linéaire nls Moindre carrés non-linéaires nlm Maximum de vraisemblance summary Résumé du modèle coefficients Récupère les coefficients d’un modèle fitted.values Recupère les prédictions d’un modèle residuals Recupère les résidus d’un modèle anova Calcule une table d’ANOVA predict Prédit des valeurs à partir d’un modèle

Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Représentation des variables . . . . . . . . . . 1.3.2 Le coefficient de détermination R2 . . . . . . 1.4 Cas d’erreurs gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Estimateurs du maximum de vraisemblance . 1.4.2 Rappels sur les lois usuelles . . . . . . . . . . 1.4.3 Lois des estimateurs et régions de confiance . 1.4.4 Prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercices

* * * * * x - L'estimateur du maximum de vraisemblance 2 2 (a, σµ , σv ) = (2π)−NT /2 |Ω|−1/2 exp − (y − X a) Ω−1 (y − X a) Ω = λw W + λb B 2 λw = σv |Ω| = λN (T −1) λN w b − 2 2 λ b = (T σ µ + σ v ) 1 2 Ω−1 = λ−1 W + λ−1 B w b ln (a , λ w , λ b ) 1 1 N (T − 1) ln λw − N ln λb − 2 2 1 1 (y − X a) W (y − X a) − (y − X a) B (y − X a) 2λ w 2λb Le système non linéaire vérié par l'estimateur du maximum de vraisemblance a MV = 1 λw MV X WX + X Wy +

verrons ne pouvait conduire qu'à des estimations inconsistentes . En 1944 Haavelmo posait les conditions générales de solvabilité . Entre 1945 et 1950 Klein présentait ses premiers modèles dont la solution était obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance . En 1949 Koopmans déterminait les conditions de solvabilité dans le cas d'un modèle linéaire . En 1954 Theil introduisait la méthode des doubles moindres carrés permettant des calculs effectifs . Toutefois la généralisation des modèles économétriques

L’estimation au maximum de vraisemblance de la probabilité se fait par la fréquence. > sum(y1) [1] 52 > sum(y1)/100 [1] 0.52 La probabilité pour que l’espèce soit présente dans un relevé est 0.52. Quelle est la probabilité de l’observation dans ce modèle. On a observé 52 présences de probabilité 0.52 et 48 absences de probabilité 0.48. La vraisemblance est donc : P ( observation ) = L ( p ) = ∏ i =1 P ( yi ) = 0.5252 0.4848 n Le logarithme de la vraisemblance est donc : log ( P ( observation)

. . . . . . . e 3.2.1 D´finition d’un estimateur . . . . . . . . . . e 3.2.2 La m´thode des moments . . . . . . . . . . e 3.2.2.1. L’estimateur des moments (EMM) . 3.2.2.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 La m´thode du maximum de vraisemblance e 13 13 14 14 14 16 16 17 18 23 23 27 27 27 28 28 29 30 30 31 31 35 35 35 36 36 36 37 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

du calcul matriciel. Et l’accent est mis sur les noe e tions centrales en probabilit´s et statistique que sont la loi, l’ind´pendance, l’esp´rance, e e e la variance, la fonction caract´ristique, les convergences, l’estimateur du maximum de e vraisemblance, les intervalles de confiance et les tests d’hypoth`ses plutˆt que sur les fone o dements th´oriques de ces disciplines. e Des exercices sont ins´r´s au cœur des chapitres pour permettre aux ´tudiants de mettre ee e en application les diff´rents

MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE Définitions : Soit X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue, dont on veut estimer un paramètre θ. On note cette famille de lois paramétriques. Alors on définit une fonction f telle que : fθ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et Pθ(X = x) représente une probabilité discrète (où θ apparaît). On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x1,...,xi,...,xn) d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon