Roman Vraisemblance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 La r´gression lin´aire et ses probl`mes potentiels e e e 3.1.2 Notation vectorielle et matricielle . . . . . . . . 3.2 R´gression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . 3.2.2 Moindres carr´s (Least squares) . . . . . . . . . e 3.2.3 Erreurs de sp´cification . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.4 Choix du mod`le . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . 4.3.1 Décomposition biais-variance du risque . . 4.3.2 Comparaison des variances des estimateurs 4.3.3 Efficacité d’un estimateur . . . . . . . . . 5 Méthodes d’estimation ponctuelle 5.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . 5.1.1 Définition et caractéristiques . . . . . 5.1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . 5.1.3 Propriétés à distance finie de l’EMV 5.1.4 Propriétés asymptotiques de l’EMV . 5.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . 5.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Méthodes d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Résultats généraux pour un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Notion de statistique exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Cas général . . . . . . . . .

4). La dernière étape va consister à sélectionner les modèles au moyen de 4 critères de selection. En effet, ces critères sont base sur la mesure de l’écart entre la vraie loi inconnue, et le modèle estimée. Nous utilisons le critère de Log de vraisemblance qui est à maximiser, ainsi que le critère Hannan-Quinn (HQ) de Schwartz (SIC) et celui d’Akaike (AIC) Model log-likelihood SC HQ AIC | AR(1) 1769.6175 -5.6229

Statistiques en Finance a pour double objectif de dépasser la méthode des Moindres Carrés Ordinaires pour l’estimation des modèles de régression linéaire simple en familiarisant l’étudiant avec d’autres approches et notamment celle du maximum de vraisemblance ; ainsi que de découvrir la régression logistique, largement utilisée en Finance dans le cadre du credit scoring par exemple. Ce cours permettra d’approfondir les techniques de modélisation statistique étudiées en Licence et d’acquérir des réflexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 Éléments de théorie de l’information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Énoncés des problèmes . . . . .

Avanc´e e e Notes de cours Olivier Gaudoin 2 Table des mati`res e 1 Introduction 2 Concepts de l’inf´rence statistique e 2.1 Le mod`le statistique . . . . . . . . . . . . e 2.2 Mod`le param´trique ou non param´trique e e e 2.3 Fonction de vraisemblance . . . . . . . . . 2.4 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exhaustivit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 La famille exponentielle . . . . . . . . . . 7 9 9 10 11 13 14 18 23 23 23 27 28 29 30 32 33 37 37 37 41 41 44 44 44 46

Répondez et justi…ez précisément vos réponses. Question 1 : A quel modèle correspond ce programme d’ estimation SAS de la …gure 1. Justi…ez votre réponse. Figure 1: Programme Question 2 : Ecrivez le programme d’ estimation par Pseudo Maximum de Vraisemblance du modèle suivant en utilisant la procédure AUTOREG : p y t = zt ht (1) E yt jyt 1 =0 V yt =yt 1 = 0 + 2 1 yt 1 + 1 ht 1 + 2 ht 2 (2) où zt est un bruit blanc faible. Question 3 : Quel(s) modèle(s) utiliseriez

les valeurs suivantes : k=4.321108 et ϴ =1.282494 à l’issue de cette estimation on note que les valeurs sont pas proches de 3 et 0.75 8. Estimateur du maximum de vraisemblance(EMV) de la variable X Calculons le log vraisemblance Nous allons déterminer le log vraisemblance de la variable X en certaines valeurs Valeurs du log vraisemblance résultats (k.hat, teta.hat)

estimateur, estimation. 3.2. Fonction de vraisemblance. 3.3. Maximum de vraisemblance. IV. Propriétés des estimateurs 4.1. Estimateur sans biais 4.2. Estimateur convergent. 4.3. Estimateur efficace. 4.4. Minimisation de l’erreur quadratique moyenne. 4.5. Interprétation des propriétés. V. Tests d’hypothèses 5.1. Méthode des intervalles de confiance. 5.2. Méthode générale de construction des tests. 5.3. Le critère du rapport des vraisemblances (LR). 5.4. Le critère de Wald (W). 5