Roman Vraisemblance

023 II. P.023 P.023 P.023 P.024 P.024 P.025 P.027 Chapitre III Echantillonnage I. Définition A. Echantillon Théorique Aléatoire Probabilisé B. Echantillon Théorique ou Observé P.027 P.027 P.027 3 4 II. III. IV. C. Vraisemblance d’un échantillon D. Notation des caractéristiques théoriques et empiriques Variable d’échantillonnage A. Etude de B. Etude de C. Moment empirique non centré d’ordre Loi de probabilité de variable d’échantillonnage fondé sur l’hypothèse de normalité

estimateurs linéaires non biaisés à variance minimale c’est à dire efficace. (BLUE [ Best Linear Unbiased Estimators] ). Les estimateurs des moindres carrés sont les mêmes que ceux que l’on obtiendrait si l’on se servait de la méthode du maximum de vraisemblance en supposant que les erreurs théoriques sont normalement distribuées. Par calcul différentiel, on cherche les 2 valeurs b0 et b1 qui minimisent la somme des carrés des résidus, cette somme quadratique est notée f( b0 , b1), puisqu’elle est fonction

modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Estimation des paramètres du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Estimation par moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . 2.3 Tests sur le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Tests sur les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Analyse de variance de la régression . . . . . . . . . . . . . 2.4 Prédiction

réels  Estimation des Paramètres Les paramètres du modèle GARCH peuvent être estimés selon différentes méthodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments etc. (pour plus de détails, voir Gouriéroux, 1997). Les méthodes généralement retenues sont celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L’avantage du PMV réside dans le fait que l’estimateur obtenu converge malgré une mauvaise spécification (supposée normale)

les moments empirique sont approximativement égaux aux moments théoriques. Soit le système Solution du système est l’estimateur de obtenu par la méthode des moments. 2. La méthode du maximum de vraisemblance: Définition: Soit la valeur de qui maximise la fonction de vraisemblance vérifie : . On note est solution du système , alors l’EMV L est log L atteignent leur maximum (lorsqu’il existe) pour la même valeur fonction croissante). Pour faciliter les calculs, on utilise log

géométriques . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Représentation des variables . . . . . . . . . . 1.3.2 Le coefficient de détermination R2 . . . . . . 1.4 Cas d’erreurs gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Estimateurs du maximum de vraisemblance . 1.4.2 Rappels sur les lois usuelles . . . . . . . . . . 1.4.3 Lois des estimateurs et régions de confiance . 1.4.4 Prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercices

7) On pose dorénavant, toujours avec n supérieur ou égal à 2 : Z n = n . ∑ Yk k =1 On admet que Z n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l'espace probabilisé (Ω, A, P). La suite ( Z n ) n≥2 est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pour λ . On admet que la variable aléatoire n ∑Y k admet pour densité la fonction f n définie par : k =1  0 si t < 0  f n (t ) =  λ n n −1 −λ t si t ≥ 0  (n − 1)! t e  a) En remarquant que ∫ +∞ 0 f n −1 (t ) dt = 1 , montrer que Z

variance de ceux-ci. Le filtre de Kalman est donc optimal en ce sens qu’il est le meilleur estimateur dans la classe des estimateurs linéaires. Étape 3 : estimation des paramètres On recourt à la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer les paramètres θ i . La fonction de vraisemblance est la suivante : l=− 1 1 υ2 log(ψ t ) − ∑ t ∑ 2 t 2 t ψt L’on passe au temps (t+1) et l’on refait cette procédure en trois étapes jusqu’à la période n. 3. Estimation de la volatilité stochastique à l’aide du

. . . . . . . . 3.2 Qualités d’un estimateur : . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4 Estimation ponctuelle 12 4.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Fonction de vraisemblance : . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Estimation de maximum de vraisemblance(EMV) : 13 5 Estimation par intervalle 17 5.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Construction

maximum de vraisemblance. Comparaison avec les MCO La vraisemblance en économétrie est définie comme la probabilité d’observer un échantillon, étant donné les paramètres du processus ayant engendré les données. Si on observe un vecteur de variables aléatoires [pic] indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi [pic], alors la probabilité de l’échantillon est le produit des probabilités associées à chaque variable :[pic]. L’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance cherche