Série de Fourier

partielle e e d’ordre n. Alors |S − Sn | ≤ |un+1 | ∀n ∈ IN. Le th´or`me (14.6.2) donne un moyen efficace pour le calcul approch´ de la somme d’une e e e s´rie altern´e. e e 72 ´ ´ CHAPITRE 14. SERIES NUMERIQUES 73 Chapitre 15 S´ries de Fourier e 15.1 S´ries trigoom´triques e e P D´finition 15.1.1 On appelle s´rie trigonom´trique, toute s´rie de fonctions e e e e terme g´n´ral fn est une fonction r´elle d´finie pour tout t ∈ IR par e e e e fn (t) = an cos(nωt) + bn sin(nωt). fn dot

Séries entières 5.1 Définitions et disque de convergence . . . . . . . . . . 5.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . 5.3 Dérivation et intégration des séries entières . . . . . . 5.4 Développement en série entière à l’origine . . . . . . . 5.5 Développement en série entière des fonctions usuelles . 5.6 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . 5.7 Exercices sur le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . .

réduire une figure. 4 semaines ACTIVITES STATISTIQUES Séries statistiques à une variable Comprendre et utiliser le vocabulaire de la statistique Répartir une population en classes Organiser une série statistique sous forme de tableaux et calculer des fréquences Représenter graphiquement une série statistique (diagramme en bâton, diagramme circulaire, histogramme) Calculer les effectifs et les fréquences cumulées Calculer une moyenne, interpréter les résultats TOTAL ANNUEL 4 semaines Contenus

intégral et équations différentielles ........................................................16 M4 : Eléments de mathématiques appliquées ............................................................17 M5 : Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier................................................18 M6 : Mathématiques pour le signal discret ................................................................19 P1 : Fondamentaux de physique .......................................................

puissance 2.1- Diodes 2.2- Transistors de puissance 2.3- Thyristors 3) Rappels sur les régimes transitoires 3.1- Introduction 3.2- Principe d'étude d'un montage 3.3- Valeurs caractéristiques d'une grandeur périodique 3.4- Décomposition en séries de Fourier 3.5- Exemples 3.6- Commentaires 4) Plan d'étude des montages redresseurs II. MONTAGES REDRESSEURS MONOPHASES 1) Introduction 2) Montages redresseurs monophasés à diodes 2.1- Montages à commutation parallèle (Montage P2 à diodes) 2.2- Montages à commutation

appelle un spectre de fréquence. Ce graphique permet de déterminer l'intensité de chaque harmonique en fonction de sa fréquence Cette décomposition du son repose sur le principe de l'analyse harmonique et celui de la série de Fourier. En 1807 un mathématicien français Joseph Fourier affirme que dans certaines conditions il est possible de décomposer une fonction périodique en une suite de fonctions sinusoïdale. Ainsi soit f une fonction ayant pour période T f(x)=a0+a1cos(x)+b1sin(x)+a2cos(2x)+b2sin(2x)+

le cosinus en sinus, l’équation devient alors : π π −x sin x + = sin 4 2 Dans R, on trouve les solutions suivantes :   π π π  x + = − x + k 2π  2x = + k 2π   4 2 4 ⇔    x + π = π − π − x + k 2π  0x = π − π − π + k 2π 4 2 2 4 La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dans R π x = +kπ 8 Dans l’intervalle ] − π; π ], on prend k = −1 et k = 0 , soit les solutions x=− π 7π ou x = 8 8 3 Étude des fonctions sinus et cosinus 3.1 Dérivées Théorème 6 : Les fonctions sinus

propagation des ondes est celle des fonctions sinusoïdales, sinus et cosinus (elles ne sont pas les seules). On montre également que tout phénomène périodique continu peut se décomposer en fonctions sinusoïdales (série de Fourier), et de manière générale toute fonction continue (transformée de Fourier). Les ondes sinusoïdales sont donc un objet d'étude simple et utile. Dans ce cadre, une onde sinusoïdale peut s'écrire : (Démonstration) On appelle amplitude le facteur , phase l'argument du sinus ,

[pic] [pic]Bn = 0 [pic] [pic] An = 0 2 Exemples de décomposition Retrouver la décomposition en série de Fourier [pic] [pic] (Figure 1) [pic] Impaire A0 = 0 et [pic] An = 0 [pic] [pic] (Figure 2) [pic] Paire [pic] Bn = 0 [pic] [pic] [pic] Etant donné que tout signal peut être considéré comme un signal périodique, alors tout signal peut être décomposé en série de Fourier. 2 TRANSFORMEE DE LAPLACE (TTP) Définition Soit f(t) une fonction définie pour t strictement

Montrer que `p est un espace de Banach. 2. Montrer que pour toute suite (xn) et tous q > p, on a ‖x‖∞ 6 ‖x‖q 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 . 103. On suppose p <∞. a. Pour n ∈ N, on note δn = (1m=n)m∈N. Montrer que pour tout x ∈ `p, x = ∞∑ n=0 xnδn , où la série converge dans `p. b. En déduire que le sous-espace des suites presque nulles est dense dans `p. c. En déduire que `p est séparable. Exercice 16. 1. Montrer que si p <∞ ou si µ est sigma-finie, alors ∀f ∈ Lp, ‖f‖p = sup g∈Lq ‖g‖q61 ∫ fgdµ . 2. Montrer