Sous-espace vectoriel

et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e e e e e 1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Les espaces H m . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Trace d’une fonction . . . . . . . . . 1.4.3 Espace H1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 0 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6

phisique et aussi en économie. Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses oeuvres contiennent la plupart des idées importantes utilisées pour le sujet. Les premiers développements se limitaient aux espaces vectoriels de dimension nie et l'objet principal était la résolution de problèmes de nature quantitative. Depuis 1940, les aspects combinatoires et qualitatifs ont bénécié d'une plus grande attention. L'étude des fonctions convexes a permis de fournir

vecteur. désigne la longueur du vecteur. Commutativité : +=v + Associativité : +(+)= +) + Eléments neutre : o+u=u Multiplication par un réel : δxv=δv Base et repère de G espace vectoriel Base de G On appelle famille générative un ensemble de vecteur tel que tout élément de l’espace vectoriel, puisse s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de ces vecteurs. V=δ1v1+δ2v2+δ3v3 Si (v1, v2, v3) sont orthogonaux deux à deux et == → Base orthonormée Repère de G So on particularise

donc La fonction étant continue sur tout intervalle tel que de , elle est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc un nombre de On a donc Or On a enfin Et donc On a en valeur absolue On présente souvent cette écriture sous d'autres formes. Posons tout d'abord On a : Or Posons On a donc On a en définitive Et donc On pose souvent On en déduit que Dans le cas particulier où on a : On démontre et nous admettrons ici que ces formules restent vraies

Cours optimisation On appelle problème d’optimisation la donnée d’une instance de la forme minimiser/maximiser f (x) sous les conditions gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m} hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m } avec f : Rp → R une fonction objectif et gi , hj : Rp → R des fonctions de contraintes. L’ensemble des points {x ∈ Rp | gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m}, hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m }} est appelé ensemble de candidats. S’il est non vide, on appelle solution du problème d’optimisation

Cours Algébre Linéaire : Espaces Vectoriels réels Matrices Applications Linéaires Systèmes Linéaires Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Première Année Babacar M. NDIAYE. Année 2010-2011. LMDAN, babacarm.ndiaye@ucad.edu.sn http ://lmdan.ucad.sn Notes Ces notes de cours correspondent à un enseignement de première année de la FASEG. Ceci ne constitue qu’une première version et les chapitres manquants seront complétées au fur et à mesure qu’on avancera

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A = {suites croissantes}, B = {suites convergeant vers 0}, C = {suites convergentes}, D = suites admettant 0 pour valeur d adhérence et E = {suites périodiques}. 1 Topologie Ouverts et fermés Exercice 1 [ 01103 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante d’ouverts. Exercice 2 [ 01104 ] [correction] On désigne

1 1.1 Compléments sur R La droite réelle La droite réelle R =] 1; +1[ est considérée comme munie de: 1 ) son addition "+ "et sa multiplication " " usuelles lui donnant une structure de corps commutatif ( et d’ espace vectoriel sur lui - même ) 2 ) sa relation d’ ordre total " " usuelle 3 ) sa norme x 7! jxj := max(x; x), pour laquelle elle est complète. 1.1.1 Proposition Si O est un ouvert non vide de R, alors il existe une suite (Ik :=]ck ; dk [)k2N d’ intervalles ouverts de R , qui sont

Exo7 Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base Exercice 1 1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 3.