Sous-espace vectoriel

org/Portail/ Espace Vectoriel et Sous Espace Vectoriel EV : l'ensemble des fonctions réelles Montrez que l'ensemble des fonctions réelles munie des lois + et * un un espace vectoriel je rappelle les deux lois : (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (k*g)(x)=k*g(x), ceci et SEV dans l'ensemble des fonctions réelles Sous espace vectoriel : Dans l'espace de toutes les fonctions définies sur à valeurs réelles, muni des lois usuelles, étudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels : ,,, ,, ,,.

lin´aire les donn´es sont vues de mani`re abstraite comme un nuage de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ

En déduire que : (3) Pn′ ( x ) = −n (n + 1) Pn −1 ( x ) . 17. Déduire de (1) que : (4) x 2Pn′′ ( x ) + (1 − 2nx ) Pn′ ( x ) + n (n + 1) Pn ( x ) = 0 . Deuxième problème On désigne par 2 [X ] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et par [X ] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et le 2 polynôme nul. On rappelle que la base canonique de [X ] est B = (1, X , X 2 ) . I. Changement de bases et division euclidienne 18. Etant donné

1 0 0   0 1 0 0 0 1   Pr S.Houfaidi Master Génie Logistique Rappels Mathématiques Calcul et applications des déterminants 1. déterminant d’une matrice carrée d’ordre deux 1.1 déterminant de deux vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension deux sur un corps K.   B= e1 ,e2  une base de E. Définition       Soient u  ae1  be2 et v  a' e1  b' e2 , on appelle déterminent des deux vecteurs     u et v dans la base B et on note det B (u , v ) le nombre ab’-ba’

l’Institut National Polytechnique ee a de Grenoble et la construction d’un cours g´n´ral de premi`re ann´e (niveau e e e e Licence troisi`me ann´e dans le sch´ma LMD) d’introduction aux codes et ` e e e a leurs applications. ´ e Edit´ initialement sous forme de polycopi´, il a ´volu´ en devenant un support e e e de cours de r´f´rence pour diff´rents cours des universit´s de Grenoble, ` la ee e e a fois ` l’Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG) et ` l’Universit´ a a e Joseph Fourier (UJF)

complexes). Ces résultats permettent d'énoncer la proposition suivante : PROPOSITION : Soit a réel ou complexe. Alors : i) les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme y = λe–ax, où λ est un scalaire quelconque. Elles forment un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction e–ax. ii) Si l'on fixe une condition y(x0) = y0, alors cette solution est unique. iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle. b) Caractérisation de l'exponentielle :

caractéristiques : on peut utiliser par exemple les angles d’Euler permettant de repérer R par rapport à Ro. w z z1 Ro v A1 y1 x1 y n u x → → → On définit le vecteur nodal n , donné par l’intersection des sous espaces vectoriels { x , y } et → → {u , v } Le passage d’une base à l’autre peut se faire par composition de 3 rotation planes : → → w → → → z → n y v → z ϑ Ψ → → h j n Ψ : angle de précession

lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Familles g´n´ratrices . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Familles libres et familles li´es . . . 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 3 5 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 17 18 18 20 21 21 22 23 25 25 26 27 29 29 30 31 33 33 34 34 35 36 38 39 39 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

matrice est donc une application dont le domaine de définition est très particulier. Pour cette raison et aussi pour des raisons de commodité d’écriture, on note aij l’image du couple i,j. et on dispose les mn nombres réels aij, i = 1,2,…m, j = 1,2,…,n sous forme d’un tableau : A = a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮am1⋮am2⋱⋯⋮amn À m lignes et n colonnes. On observera que les valeurs de A (appelées aussi coefficients de A), sont notées avec deux indices, le premier indice i faisant référence au numéro de ligne

de résoudre élégamment certains problèmes de géométrie plane, dans lesquels interviennent des déplacements et des similitudes, et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρeiθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication, une rotation d’angle θ suivie d’une homothétie de rapport ρ. La généralisation de cette méthode aux problèmes de géométrie dans l’espace (à trois dimensions) a naturellement