Sous-suite

SUITES NUMERIQUES I. Limite d'une suite définie par son terme général 1. Limite infinie Soit (U n ) la suite définie pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici. n Un 50 500 1000 5000 10000 12000 Il semble que quel que soit l'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U

Comportement d’une suite numérique 1. Suites majorées, minorées, bornées Définitions :    Soit une suite définie sur . Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou

SESSION 2012 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE 1 : normes équivalentes 1. Soit f ∈ E. f est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R. 1 • Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E. 0 |f ′ (t)| dt 0. 1 1 f = 0 ⇒ |f(0)| + 2 0 • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0)

Capacités attendues Commentaires Suites Suites géométriques. • Reconnaître et exploiter une suite géométrique dans une situation donnée. • Connaître la formule donnant : 1 + q + K + qn avec q ≠ 1 . Limite de la suite (qn), q étant un nombre réel strictement positif. Suites arithmético-géométriques. • Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison strictement positive. • Étant donné une suite (qn) avec 0  q  1, mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir

SUITES : GENERALITE Une suite (Un) est majorée si il existe un reel M tel que : quelque soit n E N, Un < M Une suite (Un) est minorée si il existe un reel m tel que : quelque soit n E N, Un >m Une suite est borné , si elle est a la fois majorée et minorée La suite Un est croissante ( resp strictement croissante )lorsque pour tout entier n , on a : Un < Un+1 ( resp Un < Un+1) La suite Un est décroissante ( resp strictement décroissante ) lorsque pour tout entier n, on a Un > Un+1 (resp

: Unicité de la limite d'une suite ♥♥ Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Proposition : Si la suite (un ) a une limite finie L, alors cette limite L est unique. Démo : Par l'absurde Supposons que la suite (un ) admette deux limites distinctes L1 et L2 avec L1 < L2. On choisit un rayon ε suffisamment petit pour que les L1 L2 intervalles I 1= ] L 1− ε; L 1+ ε[ et I 2 = ] L 2 − ε; L 2 + ε[ soient ε ε disjoints (i.e. leur intersection est vide). La suite (un ) tend vers L1 donc à partir

Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n 

Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

créer des représentations graphiques à partir des données saisies … Pr. Abderrahim Danine Présentation d’Excel (suite) Qu’il est le rôle d’un tableur ? – Un tableur permet donc: d’organiser des données de traiter automatiquement ces données de présenter ces données de différentes façons Peut être relié à des bases de données … Pr. Abderrahim Danine Présentation d’Excel (suite) Qu’ils sont les composants d’un tableur ? – Les composants d’un tableur sont : les Lignes les Colonnes les Cellules