Suite

comportement asymptotique d’une suite récurrente à laquelle le mathématicien hongrois Paul Erdös s’intéressa en 1985, avec quelques collaborateurs. Il s’agit de la suite définie par a0 = 1 et an = a[n/2] + a[n/3] + a[n/6] pour n ≥ 1, où la notation [·] désigne la partie entière. On montre facilement que la suite de terme général an n est majorée, et qu’elle est minorée par 1 (partie II). L’essentiel du problème est consacré à la preuve 12 de la convergence de cette suite, vers ln(432) ! Toutefois, lorsqu’on

x→0 x→1 et en cas de limite non nulle : ex cos x (1.6) Dans le contexte 1.5, si vn −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors un −→ l. Si la suite (vn ) e n→+∞ α(α−1)...(α−n+1) n x n! ´ (2.2) Equivalents classiques. f (x) −→ 1. g(x) x→x0 un + o(x2n+1 ) n→+∞ est born´e, alors la suite (un ) l’est aussi. e (1.7) Si la suite (un ) converge vers le nombre fini et non nul l, alors un ∼ l lorsque n → +∞. Idem pour une fonction. x→0 x→0 (2.3) Formule de Taylor-Young

est vraie par hypoth`ese. Si HR(k) alors on dispose des ´equivalences : x ∈ ker f k+2 ⇔ f(x) ∈ kerf k+1 ⇔ f(x) ∈ kerf k ⇔ x ∈ kerf k+1 qui entrainent HR(k + 1). Ainsi par r´ecurrence, ker f k = ker f k+1 pour tout k ≥ p. dk = dim ker f k est une suite croissante major´ee (par n) d’entiers naturels donc elle est constante a ` partir d’un certain rang p. Elle est strictement croissante jusqu’` a ce rang par contraposition du r´esultat pr´ec´edent donc : ∀k ≤ p, k ≤ dk ≤ n. Ainsi p ≤ dp ≤ n et en

Instructions Dans ce questionnaire, vous allez avoir à répondre à un certain nombre de questions. Toutes les questions auxquelles vous allez répondre dépendent de la photo de la chambre d'hôtel présentée ci-dessous. Une nuit dans cette chambre d'hôtel coûte 235 dollars US (soit environ 190 euros). Nous vous demandons de bien vous rappeler pour chaque réponse que vous donnez qu’elle dépend de cette chambre d'hôtel. Regardez longuement la photo de cette chambre d'hôtel pour vous imaginer la situation

l’entier suivant k+1 Conclusion : Comme la propriété est vraie pour l’entier n0 et est héréditaire à partir de ce rang, on conclut que la propriété est vraie pour tout entier n≥n0 1. Exemple Soit la suite définie par u0=0 et un+1=2un+1. Calculer les premiers termes de cette suite et conjecturer l’expression de un en fonction de n. Prouver alors cette conjecture par récurrence Remarque : L'initialisation est indispensable. En effet, démontrons par exemple

− un . Soit (un ) la suite définie par u0 = 3 et, pour tout entier naturel n : Soit (vn ) une suite définie pour tout entier naturel n par : 1. Calculer u1 , u2 , u3 puis v1 , v2 , v3 . ¶ u1 = 2 u0 + 4 = ¶ u2 = u1 + 4 = ¶ u3 = +4= 1 2 1 u 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 un + 4. 2 11 2 27 4 59 8 5 ×3+4= × × 11 2 27 4 +4 +4 11 . 2 27 = . 4 59 = . 8 ¶ v1 = 8 − u1 = 8 − ¶ v2 = 8 − u2 = 8 − ¶ v3 = 8 − u3 = 8 − = 2. = . = 5 4 5 . 8 2. Montrer que (vn ) est une suite géométrique et préciser

C'était une de ces jolies et charmantes filles, nées, comme par une erreur du destin, dans une famille d'employés. Elle n'avait pas de dot, pas d'espérances, aucun moyen d'être connue, comprise, aimée, épousée par un homme riche et distingué; et elle se laissa marier avec un petit commis du ministère de l'Instruction publique. Elle fut simple, ne pouvant être parée, mais malheureuse comme une déclassée; car les femmes n'ont point de caste ni de race, leur beauté, leur grâce et leur charme leur

1 U2= 0,01 U3=… Une suite numérique est une fonction f(x) de N en R défini à partir du rang 0. La rotation (Un), désigne la suite en tant qu’objet mathématique. Et la rotation Un désigne l’image de l’entier n (terme d’indice n de la suite). Exemple : Un= 1/n avec n > ou = 1 è Calculer les cinq premier terme ? U1 = 1/1 ; U2= ½ ; U3= 1/3 ; U4= ¼ ; U5= 1/5 •   U0= 2 … Un+ 1 = Un (1-Un) donc uO= 2, u1= -2, u2= -6, u3=-42, u4= -1706 2   3) Série Soit Un, une suite de réel. On appel « série

) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c) Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation

1L-cours-suites.doc SUITES ET TYPES DE CROISSANCE ASSOCIÉS I) NOTATIONS Une suite est une liste ordonnée de nombres. Ex : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter un la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm2, on cherche à calculer un : Demain, c'est à dire dans 1 jour, la surface du nénuphar sera donc u1 = 2 × 5 = 10 cm2 Après-demain, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc …… = 2 × 10 = 20 cm2 Le jour