Tangente hyperbolique

Xcas au lycée Renée De Graeve & Bernard Parisse Université de Grenoble I Xcas, au départ un logiciel de calcul formel, permet aujourd’hui de faire de l’algorithmique, de la géométrie interactive et analytique dans le plan et l’espace et propose un tableur formel, d’où son nom de “couteau suisse des mathématiques”. Il s’agit d’un logiciel libre, disponible sous Windows, Mac OS et Linux, la version à jour se récupère en tapant xcas sur un moteur de recherche ou directement depuis le site de Xcas

opérateur supérieur ou égal à >> : opérateur très supérieur à Im : fonction partie imaginaire de Re : fonction partie réelle de abs : fonction valeur absolue arcosh : argument cosinus hyperbolique (norme AFNOR), argch est une notation utilisée fréquemment reconnue par cette norme arcoth : argument cotangente hyperbolique (norme AFNOR), argcoth est une notation utilisée fréquemment reconnue par cette norme acute : met un accent aigu sur un caractère aleph : première lettre de l’alphabet hébreux (nombre

3/50 I - 2 Le logarithme népérien 3 Les fonctions trigonométriques Géométriquement on obtient la tangente comme ordonnée de l’intersection de la droite (OM ) avec la droite d’équation x = 1. 3.1 rappels sur les angles orientés Il est clair que cos et sin ainsi définies sont 2π-périodiques, que cos est paire et que sin est impaire. De même on voit que la fonction tangente est impaire et π-périodique. On ne revient pas sur la définition des angles géométriques, mesurés entre 0 et

{text:list-item} La bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point. Soit une ellipse dont les foyers sont F et F'. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire (_FMF_'). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M. Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyers, lorsqu'il

2) on a sin(x + ) = cos(x) : ceci dit que le graphe de sin s’obtient en 2 d´ecalant celui de cos de π/2 « vers la droite ». y y y=x 1 2Π Π 1 Π 1 2Π x 2Π Π Π 1 2Π x y = sin x y = cos x Fig. 5. Les fonctions cosinus et sinus, avec la tangente en 0 pour sinus. D’autre part, il r´esulte de (1) et (3) que la restriction de la fonction cos `a l’intervalle Icos = [0, π] (resp. de sin `a l’intervalle Isin = [−π/2, π/2]) est une bijection strictement monotone de Icos (resp. Isin ) sur [−1,

élémentaires Valeur absolue Cosinus inverse Cosinus hyperbolique inverse Argument Sinus inverse Sinus hyperbolique inverse Tangente inverse Tangente hyperbolique inverse Plafond Conjugué Cosinus Cosinus hyperbolique Exponentielle Arrondi vers 0 Plancher Partie imaginaire Logarithme népérien Logarithme décimal Partie réelle Reste de la division euclidienne Arrondi vers l’entier le plus proche Signe Sinus hyperbolique Racine carrée Tangente Tangente hyperbolique 42 all any exist find isempty isinf isnan

Il existe deux types de comètes, périodiques et non-périodiques : * Environ 40% des comètes sont périodiques, car leurs orbites autour du soleil sont elliptiques. * Les comètes non-périodiques ont des orbites de forme parabolique ou hyperbolique. Chaque année, on observe en moyenne entre 20 et 30 passages de comètes dont prés de la moitié sont généralement des comètes périodiques déjà connues Comètes périodiques Ce sont des comètes qui ont des orbites elliptiques. Certaines ont une

D´eriv´ee et graphe de f −1 . . . . . . . . . . . . 1.8 Rappels sur l’´etude d’une fonction . . . . . . . . . . . 1.9 Quelques fonctions fondamentales . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Fonctions trigonom´etriques inverses . . . . . . 1.9.2 Fonctions hyperboliques directes et r´eciproque 1.10 Formule des accroissement finis . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Th´eor`eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Formule des accroissement finis . . . . . . . . . 1.11 Exercices d’application . . . .

(Δq1 0) alors le TMS est simplement la pente de la tangente à la courbe d’indifférence. Mathématiquement : TMS (Q) = lim Δq1 → 0 − Δq 2 Δq1 (un signe moins pour avoir un taux d’échange positif) Le TMS est donc une fonction de A. Il varie lorsqu’on se déplace sur une même courbe d’indifférence. Ainsi on peut voir que lorsque A se déplace de « gauche à droite » sur la courbe d’indifférence, la valeur absolue de la pente de la tangente en A à cette courbe décroît. D’où le résultat suivant

appliquées au voile par la densité de force F et par la densité de couple Γ . En outre, l’épaisseur du voile étant petite, il est possible de supposer Γ négligeable. Considérons (figure 1) un repère orthonormé Axyz ; les axes Ax et Ay sont dans le plan tangent en A à Σ, et l’axe Az est normal à Σ. Relativement aux axes Axyz, les composantes du tenseur contrainte sont : σ1 τ 3 τ 2 τ 3 σ2 τ 1 τ 2 τ 1 σ3 Les seules forces agissant sur le voile étant, par hypothèse, appliquées à la surface moyenne, la composante