Tangente hyperbolique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés Exercice 8 [ 01963 ] [correction] Pour m, n ∈ N, calculer 2π 1 Intégration Calcul de primitives Exercice 1 [ 01960 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : 2 a) tet dtb) ln t dtc) t dt t t ln Exercice 2 [ 00279 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : a) cos t sin t dtb) tan t dtc) cos3 t dt Im,n = 0 cos(mt) cos(nt) dt Exercice 9 Centrale PC [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout

Chapitre 5 Primitives et int´egrales 1 D´efinition et propri´et´e 1.1 D´efinition D´efinition 1.1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F d´erivable sur I et telle que, pour tout r´eel x de I, F 0 (x) = f (x). On a alors le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 1.1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux d’entre elles diff´erant d’une constante. Il est important de bien connaˆıtre les primitives

MPSI 1 - 2 Corrig´ du devoir en temps libre no 2 e Exercice 1 : Simplification d’une expression. 1. Smplification par d´rivation. e (a) x appartenant ` R, f est d´finie en x si et seulement si : −1 a e 2 1 − x2 1 + x2 0, 1, c’est-`-dire : a 1 − x2 1 , soit : (1 − x2 )2 (1 + x2 )2 , soit 4x2 1 + x2 in´galit´ toujours v´rifi´e. e e e e Donc en notant D le domainde de d´finition de f : D = R . e (b) x appartenant ` D, −x appartient ` D et : a a 1 − x2 1 − (−x)2 = Arccos = f (x) . f

Exercice 1: ABD est rectangle en A. tan(ABD) = DA/AB donc ABD = Arctan(10/8) = Arctan(5/4) CHB est rectangle en H donc sin(CBH) = CH/CB donc CH = CBsin(CBH) Or CBH = CBD + ABD Si on note F le point tel que CFBE est un rectangle alors: CBD = CBF cos(CBF) = BF / CB donc CBD = Arccos(BF/CB) CBE est rectangle en E donc CB^2 = 10^2 + 20^2 = 500 donc CB = 10V5 CH = CBsin(CBH) = 10V5(sin ( Arccos(2V5/5) + Arctan(5/4)) ça doit être ça je pense Exercice 2: Je note $ les vecteurs. 1) ($OI,$OA) = PI ($OI

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

à mes collègues de Spé d'avoir encore et encore à vous le dire aussi). On la met sous forme de Cauchy-Lipschitz. On doit trouver une primitive à l'applica- t −→ Arctan(t)/(1 − t)3 . Pour ce faire, on intègre par parties en dérivant l'arc2 3 2 tangente en 1/(1 + t ) et en remontant le 8/(1 − t) en 4/(1 − t) . On en est donc à t 2.Arctan(t) dt At = + 2. . On va décomposer en éléments simples en 2 2 ).(1 − t)2 (1 − t) 0 (1 + t tion séparant 1 a b c.t + d = + + . (1 + t2 ).(1 − t)2 (1 − t) (1

Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) ln x dx x2 ∞ b) 0 1 e− √ √ x 1 x dx c) 0 ln x dx d) 1 ∞ e) 0 ∞ ln x dx (1 + x)2 ∞ f) 0 π/2 xn e−x dx (n ∈ N) g) 0 arctan x dx 1 + x2 h) a dx (a > 0, r > 0) x(x + r) i) 0 cos 2xdx √ sin 2x 2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e ∞ π/2 √ 1 2 √ e− x +x+1 dx

Exercices de math´matiques MPSI et PCSI e par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e

Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ d) √ ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) e− √ b) 1 x x dx c) 0 ln x dx 0 1 ln x dx x2 ∞ ln x dx (1 + x)2 e) f) 0 1 ∞ g) π/2 dx (a > 0, r > 0) x(x + r) h) a 0 (n ∈ N) 0 ∞ arctan x dx 1 + x2 xn e−x dx cos 2xdx √ sin 2x i) 0 2. Montrer que les int´grales suivantes

variable x + 2 = ε ch t , où ε est le signe de x + 2, et où t est positif. On a dx = ε sh t dt et l’on calcule ch2 t − 1 ε sh t dt = ε ch t sh2 t dt . ch t On peut transformer la fonction en utilisant les formules de trigonométrie hyperbolique, de la manière suivante : sh2 t sh2 t ch t sh2 t , = 2 ch t = 2 ch t = ch t − ch t ch t 1 + sh t 1 + sh2 t alors sh2 t dt = sh t − arctan sh t , ch t et puisque sh t = ch2 t − 1 = (x + 1)(x + 3) , on obtient finalement