Théorème de convergence monotone

suite majorée donc (un) n’est pas majorée. e. D’après le cours, une suite croissante et non majorée tend vers +3. 6 l On a Ln = 7 + 3,5un donc, d’après les opérations sur les limites, (Ln) tend vers +3. TP 4 Comparer des vitesses de convergence 1 l a. Dans la cellule E2, on saisit : « =A2*RACINE(A2) ». b. Dans la cellule F2, on saisit : « =A2^2 ». c. Dans la cellule B3, on saisit : « =1/A3 ». d. Dans la cellule C3, on saisit : « =1/A3^2 ». 2 l Voir fichiers logiciels. 3

entier n, et pour tout x ∈ [0 ; 1] on a donc : xn e−x xn . 1 1 xn e−x dx D’où 0 0 1 Et 0 xn dx. 0 1 xn+1 xn dx = n+1 Donc pour tout entier n : 0 1 = 0 In 1 . n+1 1 . n+1 1 = 0. n+1 D’après le théorème dit « des gendarmes », on a : lim In = 0. Or lim n→+∞ n→+∞ 118 SUJET 2 SUJET NATIONAL, SEPTEMBRE 2010 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = x(1 − ln x). La courbe représentative C de la fonction f

4.786 0 5 10 iteration 15 20 Pour A1 , la suite (mi ) semble encore converger vers l1 , ce n’est pas le cas pour A2 . Les hypothèses ne sont pas vérifiées dans les deux cas ; le premier semble montrer que les conditions de convergence de la suite (mi ) sont seulement suffisantes. ? DU MAL À DÉMARRER  Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 2.1 Premiers calculs 1. On peut commencer par une matrice 4 × 4 et calculer le produit des deux matrices. 2.

. . . . . . . . . . . . 15 15 19 25 26 29 29 34 35 36 38 38 42 44 48 51 54 54 56 60 65 67 69 69 70 73 75 2 3 Int´ gration : quelques compl´ ments e e 3.1 Ensembles n´ gligeables et compl´ tion de tribus . . . . . e e 3.2 Th´ or` me de convergence domin´ e : la version d´ finitive e e e e 3.3 Les mesures avec densit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Les fonctions int´ grables au sens de Riemann . . . . . . e Produits de mesures 4.1 Quelques r´ sultats d’unicit´ . . . . . . e e 4.2 Produit

montrera en particulier que si u et v sont On abordera à cette occasion les propriétés monotones de même sens, alors u+v l’est aussi. relatives à la somme membre à membre de deux inégalités. On reviendra à cette occasion sur le sens des La “composée” de fonctions sera ici introduite écritures algébriques. Dans des cas simples où naturellement, sans qu’il soit indispensable n’interviennent que des fonctions monotones, d’utiliser la notation u °v. on déduira le sens de variation. On ne donnera pas de

une suite de fonctions continues positives sur [a, b] qui tend simplement en croissant vers une fonction b b continue g, alors a gn (t)dt → a g(t)dt. Corrig´. Il s’agit d’un exercice classique d’analyse. Raisonnons par l’absurde en niant la e e convergence uniforme de la suite fn . La suite num´rique ωn = supx∈[a,b] |fn (x)| ne tend pas vers 0 et il existe 0 > 0 et une sous-suite (ωnk )k∈N tels que, pour tout k, on ait e ωnk > 0 . Par cons´quent, pour tout k, il existe xk ∈ [a, b] tel que fnk (xk

ou fonction ? 1 G Il existe deux solutions qui sont en fait les mêmes, en tournant la figure de 90°. Les dimensions du rectangle sont environ 0,87 et 1,8. 2 G En notant x le côté [AB] du rectangle, on obtient la longueur OI à l’aide du théorème de Pythagore appliqué au triangle OIB (figure ci-contre). On peut donc exprimer l’aire du rectangle f(x) en fonction de x : OI2 = OB2 – IB2 d’où OI =  x 1−   2 2  x et f (x) = x × 2 1 −   .  2 2 ≈ 1,57 . 2 Or l’aire du disque

relation précédente, 0 = u0(u1 − u0) ` , ce qui est im- possible car le numérateur est non nul. Donc u diverge. 5. u est croissante et divergente, donc lim n→+∞ un = +∞. 1.3 Séries Exercice 23. Pour n ∈ N∗, on pose un = 1 n(n+ 1) . 1. Justifier la convergence de la série ∑ n>1 un. 2. Déterminer deux réels a et b tels que : ∀n ∈ N∗, un = a n + b n+ 1 et en déduire la somme de la série précédente. 3. Quelle est la nature de la série ∑ n>1 nun ? Lycée Henri Poincaré 6/35 lo1.3 Séries Recueil d’exercices

des matières 1 Équations de conservation 1.1 Théorèmes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de l’énergie, théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . Forme générique

moyen de reporter une longueur est de tracer des cercles. d. En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles homothétiques ABE et ABC, on AE AD 5 = , soit AE = . obtient AC AB 7 1. Calcul algébrique • 15 2 On modifie le rayon des cercles de la figure précédente : AB = 11 et AD = 17, d’où AE = ● Partie B 1 ● La construction suggère que AB = 17 . 11 a . 2 a. ● En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles AHC et AHB rectangles en H de la figure, on