Théorème de convergence monotone

.................................... 141 Le théorème des élasticités critiques et la courbe en J................................................................ 145 LES MOTEURS DE LA CROISSANCE : EDUCATION ET INNOVATION................................................ 147 7.1 QUELQUES FAITS STYLISES ................................................................................................................... 148 7.1.1 -convergence, -convergence et rattrapage ..............................

formule 1 a) S(x) = 20x + 100. b) S(10) = 300. La somme due est 300 euros. 2 a) V = 100(10 – x). b) V = 500 pour x = 5. 3 1. Le théorème de Thalès appliqué dans le triangle DCA nous donne : DI = DJ = IJ , d’où x = IJ = DJ a AC DA DC AC a avec AC = a12 (en effet, AC2 = AD2 + DC2, d’où AC2 = 2a2). On en déduit que IJ = x12 et DJ = x. Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle isocèle DHI nous donne la relation suivante : 2 DH2 + IJ = DI2. 2 x2 x12 2 2 = x2

....................................................................... 29 1.2.1.2. Les contraintes de modélisation................................................................................................................... 33 1.2.1.3. Le théorème de l’impossibilité spatiale et les coûts de transport ................................................................. 35 1.2.2. Distance géographique et coûts généralisés de transport ..........................................................

t/It-1]=0. C’est bien une propriété d’anticipation 3) La théorie des changements intersectoriels : Lilien (1982) et Black (1987) : s’inscrit dans le prolongement des travaux de rationnelle. Phelps (parabole des îles). Production d’équilibre : Théorème : Supposons que lorsqu’un travailleur quitte un secteur pour un (1) y*= y+( . /( + )). t (7) autre, il connaît nécessairement une période de chômage de recherche pour trouver un autre emploi. Selon la théorie des changements intersectoriels,

Veraverbeke, Asymptotic behavior of the finite-time expected time-integrated negative part of some risk processes, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2010), Vol. 367, No2, pp. 535-549 . – [125] S. Loisel, C. Mazza, D. Rulli`re, Convergence and asymptotic vae riance of bootstrapped finite-time ruin probabilities with partly shifted risk processes, Insurance : Mathematics and Economics (2009), Vol. 45, No 3, 374-381. – ∗ [70] L. Devineau, S. Loisel, Risk aggregation in Solvency II :

21 21 22 23 ` TABLE DES MATIERES 4 3 Rappels et compl´ ements d’analyse et de probabilit´ e 3.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Mesurabilit´e et variables al´eatoires . . . . . . . 3.1.2 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Ind´ependance et esp´erance conditionnelle . . . 3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Th´eor`eme de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Esp´erance conditionnelle .

amperage n. (électr.), intensité f. électrique, ampérage ampere n. (électr.), ampère m., ~-hour m., ampère-heure (unité de charge électrique - 3600 coulombs), ~( )meter m. (instr.), ampèremètre Ampere’s (électr.), ~ law, théorème d’Ampère, ~ rule, règle d’Ampère Ampere-Laplace theorem n. (électr.), loi f. de Laplace ampere-turn n. (électr.), ampère-tour m. (unité d’excitation magnétique) amphetamine n. (pharm.), amphétamine f. amphibian adj. (amph.), amphibien (batracien) Amphibiata n. pl. (amph.),

amperage n. (électr.), intensité f. électrique, ampérage ampere n. (électr.), ampère m., ~-hour m., ampère-heure (unité de charge électrique - 3600 coulombs), ~( )meter m. (instr.), ampèremètre Ampere’s (électr.), ~ law, théorème d’Ampère, ~ rule, règle d’Ampère Ampere-Laplace theorem n. (électr.), loi f. de Laplace ampere-turn n. (électr.), ampère-tour m. (unité d’excitation magnétique) amphetamine n. (pharm.), amphétamine f. amphibian adj. (amph.), amphibien (batracien) Amphibiata n. pl. (amph.),

Étudier la position relative de (0) par rapport à (C). b) Construire (T), (D) et (C). Partie C On considère la suite numérique (an) définie pour tout entier n ≥ 1 par : an = b) Interpréter graphiquement le nombre an. c) Calculer an puis étudier la convergence de la suite (an). 2. Justifier que : a1 + a2 + a3 + . . . . . . . . + an = n2. ∫ en en − 1 2 ln t dt t 1. a) Hachurer sur le graphique le domaine du plan dont l'aire en unité d'aire est égale à a1. BAC Côte d’Ivoire ; Session 2009

courbe (C). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de chacune des suites et ( vn ) en laissant apparents tous les traits de constructions. A partir du graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites ( u n ) et ( vn ) . c) Montrer à l'aide de raisonnements par récurrence que : 1. Pour tout entier naturel n, 3 ≤ u n ≤ 5 . 2. 3. 4. La suite ( vn ) est définie pour tout entier naturel n par vn = ln ( u n ) . Si la suite ( u n ) est