Théorème de convergence monotone

La répétition de cette procédure assure la convergence vers l’équilibre après quelques itérations. P O(p) P* Leçon 5 D(p) La concurrence pure et parfaite : L’équilibre de la branche 5/9 La stabilité et la convergence vers cet équilibre n’est pas assurée a priori. En d’autres termes, il faut supposer des conditions particulières sur les fonctions de demande globale et d’offre globale (les pentes des fonctions) afin d’assurer la convergence vers l’équilibre. Notons au passage que l’équilibre

[0, 1] → R continue telle que 1 0 Enoncés c) En déduire qu’il existe c ∈ [a, b] vérifiant b c 2 1 f (t) dt = 2 f (t)g(t) dt = f (a) a a g(t) dt Montrer que f admet un point fixe. d) Soient f, g : [a, b] → R continues avec f monotone. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que b c b f (t)g(t) dt = f (a) a a g(t) dt + f (b) c g(t) dt Exercice 15 [ 01969 ] [correction] Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer : 1 ∃c ∈ ]a, b[ , b−a b f (t) dt = f (c)

27 28 29 30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 39 39 1. 1. Questions de cours au sujet des suites Valider ou infirmer les propositions suivantes : 1. Si une suite u est croissante et majorée par 5 , alors elle converge vers 5. 2. Si une suite u est monotone et bornée , alors elle est convergente. 3. Si une suite u n’est pas convergente , alors elle n’est pas bornée. 4. Si deux suites ont la même limite, alors elles sont adjacentes. 5. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont bornées. 6. Une

. . . 9.3 Th´or`mes g´n´raux sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 9.4 Suites et s´ries g´om´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 9.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Etude de suites r´currentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.7.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . 9.7.2 La fonction f est d´croissante sur un intervalle stable

9.3 Th´or`mes g´n´raux sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 9.4 Suites et s´ries g´om´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 9.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Etude de suites r´currentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.7.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . 9.7.2 La fonction f est d´croissante sur un intervalle

9.3 Th´or`mes g´n´raux sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 9.4 Suites et s´ries g´om´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 9.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Etude de suites r´currentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.7.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . 9.7.2 La fonction f est d´croissante sur un intervalle

intrins`ques et ne d´pendent pas du choix de e e e la norme entre des normes ´quivalentes: e Les notions de voisinage, ouvert, ferm´, adh´rence, fronti`re, densit´. e e e e Les notions de suites ou applications born´es. e La notion de suite de Cauchy. La convergence d’une suite ou l’existence de la limite d’une application en un point adh´rant. e La limite d’une suite convergente et celle d’une application en un point adh´rant. e La continuit´ et la notion d’application lipschitzienne. e R´sum´s de cours:

théories du commerce international et de la croissance endogène proposaient de nouveaux gains à l'échange en terme, notamment, d'économies de dimension et de diffusion technologique. Mais elles soulignaient aussi les ambiguïtés de l'ouverture sur la convergence économique. D'autre part, l'analyse factuelle s'interrogeait sur l'hétérogénéité des performances des économies en développement -"miracle" asiatique, stagnation latino- américaine, désastre africain-. Les politiques de développement n'avaient-elles

théoriques relatives à l’analyse des cycles économiques et que le rôle de la politique monétaire dans la stabilisation des fluctuations des prix et la production continue de donner lieu à des points de vue divergents, on a assisté à une forte convergence des approches et des théories. Aujourd’hui, les différences d’ordre conceptuel sont beaucoup moins marquées. On reconnaît à présent la valeur de la plupart des éléments du modèle néoclassique. À titre d’exemple, la notion de la courbe de Phillips

pn +1 = 1 2 1 3 Pour k  2 : ln  Ú2n ln x d x  ln n n n n Casio TI n … n On déduit que : 1 1 1 1 1 - 1 +  Ú 1 ln x d x  - 1 - ln + . n n n n n 1 1 1 d)  lim = 0 et lim x ln x = 0, donc lim ln = 0 n Æ+» n x Æ+» n Æ+» n n D’où d’après le théorème des gendarmes lim un = - 1. n Æ+» 1 1 et q1 = 1 - p1 = . 2 2 Notons En l’événement « La ne cible est atteinte ». 2 1. D’après l’énoncé p1  ) ( ) Donc p (E ) = p (E « E ) + p (E « E ) p (E ) = p (E ) ¥ p(E ) + p (E ) ¥ p (E ). ( E2 = E2 « E1