Théorème de convergence monotone

CONTINUITE ET INTEGRATION Théorème 0.1 (Continuité) I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que : i) fn −→ f CU (converge uniformément) ii) ∀n ∈ N : fn continue en a Alors : f est continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème 0.3 (CU et intégrabilité) (fn

connaître les formes indéterminées Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : "", "", "" et "". Méthode : Lever une indétermination Déterminer les limites suivantes : a) b) c) d) IV. Limites et comparaison 1) Théorèmes de comparaison Théorème 1 : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ℕ. Si, à partir d'un certain rang, et alors . Démonstration (exigible BAC) : Soit un nombre réel a. - , donc l'intervalle contient tous les termes de

INTÉGRALES IMPROPRES Prérequis : Fonctions numériques - Développements limités - Calcul intégral - Théorème de la limite monotone 1 Généralités Dans ce paragraphe K désigne R ou C. 1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite

avec : ( ) avec n entier naturel  Une suite définie par une formule explicite :  Une suite définie par une relation de récurrence : ( )  Des suites adjacentes. Comme toujours les outils que l’on utilise sont les définitions, les propriétés ou théorèmes vus en cours, il est nécessaire de parfaitement les connaître ! Comment étudier une suite arithmétique ou géométrique ? Méthode : Pour montrer qu’une suite (?? ) est une Suite arithmétique de raison r ?? On prouve que On écrit ?? en fonction

Exercice 3 Soitla suite définie paret Démontrer que, II. Comportement global d'une suite 1. Sens de variation d'une suite Définition 1 Soitune suite définie sur On dit queest croissante lorsque, On dit queest décroissante lorsque, On dit queest monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. On dit queest constante lorsque, Note : Il peut arriver qu'une suite soit croissante (resp. décroissante) à partir d'un certain rang: pour tout entieron a(resp.) Remarques 2 Pour étudier le sens de

Suites et séries numériques de PCSI I - Généralités sur les suites numériques On appellera suite réelle tout élément de RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞

peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients de

Cette propriété justifie l’emploi de l’article indéfini quand on parle de majorant ou de minorant d’une suite. majorant de la suite). • On dit que u est minorée pour exprimer qu’il existe un réel m tel que ∀n ∈ » un m II. Limites des suites monotones (m est un minorant de la suite). 1°) Propriété • On dit que u est bornée pour exprimer qu’il existe deux réels m et M tels que ∀n ∈ » m un M. • Si une suite croissante a pour limite le réel L, alors tous les termes de la suite sont inférieurs

variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée. _ Le théorème d’encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l. Si les principes de base sont identiques, il

2. Les différents théorèmes sur les suites. 3. Les théorèmes d'opérations sur les limites. 4. En cas d'une des formes indéterminées suivantes : «  »; «   » ; «   » et «   » faire une étude particulière. - On peut faire une conjecture à partir d’observations de valeurs ou un graphique et utiliser la définition. Démontrer qu'une suite admet une limite infinie - On peut utiliser : 1. La définition 2. Les théorèmes d'opérations sur les limites 3. Le théorème de comparaison 4