Théorème de Schwarz

asymptotiques des MCO dans le cadre de régressions avec variables I (1) , mais aussi de construire des tests de l’hypothèse de non stationnarité. 2.1 Mouvement Brownien et Théorème Central Limite Fonctionnel Dans cette section, nous introduirons la notion de mouvement Brownien, ou processus de Wiener, puis nous présenterons le théorème central limite fonctionnel. 2.1.1 Mouvement Brownien La définition d’un mouvement Brownien est la suivante : Definition 5 Un mouvement Brownien standard W (.) est un

680556 0.009096 0.011047 0.006400 0.107811 t-Statistic 14.39023 50.97085 7.361189 32.96687 Prob. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 11.68840 0.794623 1.726602 1.730759 2001.723 0.000000 71 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) Analyse de la politique fiscale au Niger et ses impacts sur la pauvreté. Modèle estimé : LOG(DEPTETE) = 3.55 + 0.13*LOG(DROIT_ACCISES) + 0.56*LOG(TVA) + 0.05*LOG(REVENU) t de Student (32.97) (14.39)

(t)g(t) dt b a M g(t) Sn = f (an−1 )G(an ) + k=1 (f (ak−1 ) − f (ak )) G(ak ) − f (a0 )G(a0 ) Or G(a0 ) = G(a) = 0 et puisque la fonction f est décroissante et positive M Sn f (an−1 )M + k=1 n−1 g(t)dt Il suffit alors d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires entre c et d pour conclure. (f (ak−1 ) − f (ak )) M avec M = max G [a,b] Enfin par télescopage Sn Exercice 17 : [énoncé] a) En exploitant la relation de Chasles, on peut écrire b n−1 ak+1 f (a0 )M = f (a)M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Eug`ne Rouch´, 1832-1910. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 e e Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1823. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Karl Weierstraß, 1815-1897. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Échantillons et sous-populations 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une

aussi et Var(E(f (X, Y )|Y )) ≤ Var(f (X, Y )). e e D´monstration : La premi`re assertion s’obtient en prenant g ≡ 1 dans l’´galit´ de la e e e e proposition 2.4.6. Supposons maintenant f (X, Y ) de carr´ int´grable. Par l’in´galit´ de e e e e Cauchy-Schwarz et comme x∈F P(X = x|Y = y) = 1, 2 f (x, y) x∈F P(X = x|Y = y)× P(X = x|Y = y) ≤ f 2 (x, y)P(X = x|Y = y)×1. x∈F Donc E(f (X, Y )|Y )2 ≤ E(f 2 (X, Y )|Y ). Comme E(f 2 (X, Y )|Y ) est int´grable d’esp´rance e e 2 2 ´gale ` E(f (X

aussi et Var(E(f (X, Y )|Y )) ≤ Var(f (X, Y )). e e D´monstration : La premi`re assertion s’obtient en prenant g ≡ 1 dans l’´galit´ de la e e e e proposition 2.5.6. Supposons maintenant f (X, Y ) de carr´ int´grable. Par l’in´galit´ de e e e e Cauchy-Schwarz et comme x∈F P(X = x|Y = y) = 1, 2 f (x, y) x∈F P(X = x|Y = y)× P(X = x|Y = y) ≤ f 2 (x, y)P(X = x|Y = y)×1. x∈F Donc E(f (X, Y )|Y )2 ≤ E(f 2 (X, Y )|Y ). Comme E(f 2 (X, Y )|Y ) est int´grable d’esp´rance e e ´gale ` E(f 2 (X,

À première vue, le résultat obtenu par Penrose ne s’appliquait qu’aux étoiles et n’avait rien à voir avec la question de savoir si l’univers entier avait eu ou non une singularité de type Big Bang dans son passé. Au moment où Penrose publia son théorème, j’étais un jeune chercheur cherchant désespérément un problème qui constituerait ma thèse. Deux ans auparavant, on m’avait diagnostiqué une « ALS », maladie de Lou Gehrig, ou encore maladie des neurones moteurs, et l’on m’avait fait comprendre que

À première vue, le résultat obtenu par Penrose ne s’appliquait qu’aux étoiles et n’avait rien à voir avec la question de savoir si l’univers entier avait eu ou non une singularité de type Big Bang dans son passé. Au moment où Penrose publia son théorème, j’étais un jeune chercheur cherchant désespérément un problème qui constituerait ma thèse. Deux ans auparavant, on m’avait diagnostiqué une « ALS », maladie de Lou Gehrig, ou encore maladie des neurones moteurs, et l’on m’avait fait comprendre que

mener le test de stationnarité. Il faut regarder ici les tables de Mackinnon. Si le résidu est stationnaire nous pouvons alors estimer un modèle appelé modèle à correction d’erreur (MCE) qui intègre les variables en variation et en niveau (le théorème de la représentation de Granger met en évidence le lien entre cointégration et modèle à correction d’erreur). L’emploi d’un modèle à correction d’erreur dans le cas de la cointégration permet d’obtenir des prévisions plus fiables que si on avait