Théorème de Schwarz

(X − a)k et pas par (X − a)k+1 ). a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q (si et seulement si P est divisible par (X − a)k ). k−1 Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X − a)k est i=0 P(i) (a) (X − a)i . i! Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). a est racine de P d’ordre k si et seulement si P(a) = P ′ (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0 et P(k) (a) = 0. a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement

1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 5. Chaque ni est supérieur ou égal à 1. Donc ∀i ∈ 1, p , n2 ≥ ni puis i p p dim(C(u)) = i=1 n2 ≥ i i=1 ni = n. dim(C(u)) ≥ n. Autre solution. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, p 2 p p 1 × ni i=1 p p ≤ i=1 12 i=1 n2 i (∗). Comme u est diagonalisable, on a i=1 1 × ni = n et i=1 n2 = dim(C(u)) et d’autre part, p est le nombre de valeurs propres i deux à deux distinctes ce qui impose 1 ≤ p

pr´hilbertien r´el e e Dans tout le paragraphe, E d´signe un espace pr´hilbertien r´el pour un produit scalaire (· |·). Pour e e e x ∈ E, la positivit´ du produit scalaire autorise ` poser x = (x |x). e a ´ ´ Proposition 1.11 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y ∈ E, on a : |(x |y)| x y avec ´galit´ si, et seulement si, la famille (x, y) est li´e. e e e D´monstration. • Pour x, y ∈ E donn´s, on a par bilin´arit´, sym´trie et positivit´ du produit e e e e e e scalaire : pour tout λ ∈ R,

Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1

est donc continue. Puisque GLn (R) est l’image réciproque de l’ouvert R par cette application continue, GLn (R) est un ouvert relatif à Mn (R), c’est donc un ouvert de Mn (R). Exercice 3 : [énoncé] Par le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz : (x, y) est libre ⇔ |(x | y)| < x y . Considérons : f : E 2 → R définie par f (x, y) = x y − (x | y). (x, y) ∈ E 2 /(x, y) libre = f −1 (]0, +∞[) est un ouvert car image réciproque d’un ouvert par une fonction continue. Exercice 6 : [énoncé] Si

précisément, la recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l’intégration en une variable sera généralisée par les célèbres théorèmes de Gauss et de Stokes. Dans la partie III, nous développons des outils qui sont nécessaires pour attaquer ces grands sujets, et qui sont également utilisés dans un grand nombre d’autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de

. . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 66 68 70 72 . . . . 75 75 77 81 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

application linéaire sur U = Rn alors f est différentiable de différentielle f . Si f : Rn → R est définie pour tout x ∈ Rn par f (x) = xT Ax avec A une matrice n × n à coefficients réels, alors f est différentiable de différentielle Df (a)h = aT (A + AT )h. Théorème 1. Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . – Soient f, g : U → Rp deux fonctions différentiables en a et λ ∈ R. L’application f + λg est différentiable en a de différentielle D(f + λg)(a) = Df (a) + λDg(a). – Soient f : U → Rp une application différentiable

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

iab dt. a2 cos2 t + b2 sin2 t 1 http://www.bibmath.net Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé D’autre part, γ est le paramétrage d’une ellipse. Son indice par rapport à 0 est 1. D’après le théorème de Cauchy, on a dz = 2iπ. γ z Par identification des parties réelles et imaginaires, on trouve que l’intégrale recherchée vaut 2π/ab. Exercice 5 - Une intégrale ! - L3/M1 1. On a z2 1 1 = +1 2i 1 1 . − z−i z+i D’après la formule de Cauchy, on