Continuité uniforme

PROBLÈMES D’ANALYSE II Continuité et dérivabilité Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak Traduction : Eric Kouris Collection dirigée par Daniel Guin 17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France This work was originally published in Polish, as Zadania z Analizy Matematycznej. Część Druga Funkcje Jednej Zmiennej–Rachunek Różniczowy, c 1998 Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin. Published in English by the American Mathematical Society

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 20 Intégration Sommaire 20.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Continuité par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . 20.2.3 Intégrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . 20.3 Intégrale sur un segment . . . . .

or c’est du cours (le reste aussi), a e ie une limite uniforme d’applications continues est continue. Red´montrons-le: e |f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − fn (x)| + |fn(x) − fn (a)| + |fn(a) − f(a)| ≤ 2N∞ (f − fn) + |fn (x) − fn(a)| Si ε > 0 est donn´, soit n fix´ tel que N∞ (f − fn ) ≤ ε/3. Par continuit´ de fn , il existe un voisinage de a e e e dans lequel |fn (x) − fn (a)| ≤ ε/3. On a dans le mˆme voisinage |f(x) − f(a)| ≤ ε ce qui prouve la continuit´ e e de f en a: c’est vrai pour tout a, cqfd. u(x) =

. . . . . . . . . e 1.4.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1 Continuit´ en un point . . . . . . . . . . . . . e 1.5.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.5.3 Continuit´ globale . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.4 Hom´omorphismes . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.5 Uniforme continuit´ et Lipschitz continuit´ . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

croissante, n Є A (Vn) décroissante, n Є A Pour tout n de A, Un ≤ Vn * Deux suites adjacentes sont convergentes vers une même limite. Suites arithmétiques Terme général Somme de termes consécutifs Sommes particulières Limites de fonctions et suites Continuité d'une fonction: Suites géométriques Ω (a;b) Dérivées et primitives * Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d'accroissement de f en a. * Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente TA en A

fn = 2(n + 1). Mais alors, pour tout entier naturel non nul n, S fn 1 on obtient S = +∞. puis On a montré que sup f , f ∈ E \ {0} f 1 = +∞ et donc 1 fn fn = 2(n + 1). Quand n tend vers +∞, 1 n’est pas équivalente à . EXERCICE 2 : continuité d’une fonction définie par une intégrale 1. Soient I et J deux intervalles de R puis g : I×J → R une application de I × J dans R. Si (x, t) → g(x, t) • pour tout x de I, l’application t → g(x, t) est continue par morceaux sur J, • pour tout t

k→∞ ∀x ≥ 0 ∀n ∈ IN∗ k=n uk (x) ≤ |un(x)| ≤ 2 nπ On voit donc que la s´rie de fonctions {un} est uniform´ment convergente sur e e [0, +∞[. La s´rie {|uk(0)|} n’est pas convergente, car pour tout k ≥ 0 on a : e 1 ≤ |uk (0)| (k + 1) π et on sait que la s´rie {1/k} est divergente. La s´rie de fonctions {u k} n’est e e donc pas simplement convergente sur [0, +∞[, et a fortiori pas uniform´ment e convergente sur cet intervalle. Fixons maintenant a > 0; pour tout x ≥ a, et tout k ∈ IN∗ on a : |uk(x)|

préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques représentations graphiques Annexe II : Quelques sommes de séries Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Préambule historique En 1746, D'Alembert étudie l'équation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Parties compactes d’un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Th´or`me de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 29 31 32 ´ C. Etude locale d’une application, continuit´ e I. Limite d’une application 0) Images directes et r´ciproques . . . . . . . . . . . e 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Cas d’un evn produit et de

polytechniques CCP 1 1 n(ln n)α a- Montrer que si α 0 la s´rie de terme g´n´ral un diverge e e e e e b- Lorsque α > 0 ´tudier la convergence de la s´rie un = CCP 2 8 points. 2 fois 1- Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues convergeant uniform´ment vers f sur [a,b]. Montrer que e b converge vers a f (x)dx 2- Montrer que 0 1 2 b a fn (x)dx +∞ n=0 xn dx = +∞ n=0 1 (n+1)2n+1 CCP 3 2 fois e e e e e a e 1- Enoncer le th´or`me de d´rivabilit´ de l’int´grale ` param`tres