Théorème du rang

X divise P ◦ P − P et P − X donc la somme P ◦ P − X . pgcd(A, C) | A et pgcd(A, C) | C donc pgcd(A, C) | BC puis pgcd(A, C) | pgcd(A, BC). Inversement. Posons D = pgcd(A, BC). On a D | A et A ∧ B = 1 donc D ∧ B = 1. De plus D | BC donc par le théorème de Gauss, D | C et nalement D | pgcd(A, C). Exercice 15 : Posons D = pgcd(A, B). On a D2 = pgcd(A2 , B 2 ) associé à A2 donc deg D2 = deg A2 puis deg D = deg A. Or D | A donc D et A sont associés. Puisque D | B , on obtient A | B . Exercice

W vu que W est stable par A). Ainsi W contient tous les vecteurs non nuls de V , donc W = V . On a donc prouvé que GLn (C) vérifie P6 . I.A.3) Le groupe linéaire GLn (C) ne vérifie évidemment pas P1 (les éléments de GLn (C) sont les matrices de rang n et ici n 2) ; il vérifie P2 et P3 car I ∈ GLn (C). Il ne vérifie pas P4 , i.e. GLn (C) n’est pas un sous-espace vectoriel de E (car la matrice nulle 0E n’appartient pas à GLn (C)). Enfin il vérifie P5 : le produit de deux matrices inversibles

Allons plus loin Nous venons de voir que notre série comporte 35 valeurs dont 17 sont au-dessus et 17 au-dessous de la médiane. Déterminer le pourcentage des valeurs inférieures ou égales à la 9ème valeur ; quelle est cette valeur ? Déterminer le rang de la plus petite valeur telle que 75 % au moins lui sont inférieures ou égales ; quelle est cette valeur ? Les deux nombres qu’on vient de trouver sont appelés respectivement premier et dernier quartile. Représenter sur un axe les valeurs extrêmes

Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des suites numériques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Traitement de la non-stationnarité stochastique . . . . . . . . 2.1. Traitement de la tendance stochastique . . . . . . . . . 2.2. Traitement de la saisonnalité . . . . . . . . . . . . . . . 3. Théorème central-limite et son utilisation pour l’étude des processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Introduction au calcul stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Tests de racine unité . . . . . . . . . . . . . . .

exemple, des économies d’échelle. Ces nouvelles théories introduisent une dimension dynamique par l’analyse de l’évolution temporelle de la spécialisation des pays alors que les théories traditionnelles sont essentiellement statiques (à l’exception du théorème de Rybczynski). Enfin, la participation au CI n’est pas nécessairement un jeu à somme positive ; certains pays y perdent ce qui justifie le recours au protectionnisme. 5 E. Legrand – IUFM d’Auvergne/Université de Rennes 1 Les théories traditionnelles

Exemples 6 1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. 2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires. F IGURE 1.1 – Droites coplanaires F IGURE 1.2 – Droites non coplanaires Page 11 sur 78 1 M.HOUIMDI Théorème 1 − − Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, → u ) et D = D(B, → v ) deux droites affines de E . On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l’une des deux propriètés suivantes est vérifiée, − →− → i) Si (AB, → u ,− v ) est lié

alentours de 30%. Au reste à des niveaux inférieur à l’EU. B) Prélèvements Sur la dispersion on a une fourchette : plus bas est de 30% avec la Slovaquie et la plus élever est de 49% avec le Danemark. La moyenne est à 40%. La France est au 4e rang avec 43%. Les pays de l’UE comparable à la France : RU (36%), Italie (43%), Allemagne (39%). De 2000 à 2008 : pour la France en haut de la fourchette a une tendance à la baisse (passe de 45% à en dessous de 42%) ; Allemagne et RU se situe dans une

introduire les nouveaux concepts. Ces concepts seront alors mis en œuvre dans des exercices et problèmes qui en montreront la portée. Mathématiques – Classe de première des séries générales 9 Expression et raisonnement Les résultats acquis (théorèmes, techniques opératoires, etc.) seront clairement énoncés et leur statut explicité (admis ou démontré). On veillera à la qualité des raisonnements effectués. Dans le champ mathématique, les modalités du raisonnement sont variées ; la plupart ne sont

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 9 10 10 11 13 17 17 17 19 20 22 22 23 23 24 25 25 26 Éléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Axiomes Raisonnements 1.3.1 1.3.2 1.4 Quelques théorèmes d’arithmétique Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connecteurs logiques . . Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raisonnements primaires