Théorème du rang

donc g (e) = e−2 est le maximum de g sur ]0 ; +∞[. D’où le tableau de variations de g : x 0 e +∞ g ′(x) +++ 0 −−− ≈ 0,718 g −2 −∞ 4. • Sur l’intervalle ]0 ; e[, la fonction g est dérivable, donc continue; comme −2 < 0 < e, il existe d’après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique β de l’intervalle ]0 ; e[, tel que g (β) = 0. Or de façon évidente g (1) = 0, donc β= 1; • Sur l’intervalle ]e ; +∞[, la fonction g est dérivable, donc continue; comme 0,718 > 0, il existe un réel unique

: il vient e x × e− x = e0 = 1 d’après le pré-requis n°1. Chacun des nombres est non nul et on a bien pour tout x, e− x = A2. Soit n un entier naturel et P(n) la proposition « ex > P(0) est vraie d’après le pré-requis n°1. > Supposons P(n) vraie au rang n cad que ex 1 ex . ( ) n = enx » ( ) n = enx . Multiplions par e x chacun des membres, il vient requis n°2, cad e x Partie B (e ) x n × e x = e nx × e x ⇔ e x ( ) n +1 = e nx + x d’après le pré- ( )

B LANCHENAY Sous la direction de : Hervé C RÈS Mai 2004 Table des matières Remerciements Introduction I Les problèmes généraux des scrutins I.1 I.2 Le théorème de Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manipulabilité et vote stratégique . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.A I.2.B I.3 I.3.A I.3.B Le théorème de Gibbard-Satterthwaite . . . . . . . . . . . Le sens du vote pour l’électeur . . . . . . . . . . . . . . . Complétude et transitivité . . . . . . . . . . . . . .

suite un est bornée par ces deux valeurs à partir du rang K1 . Première étape : la suite est bornée. En eet, dans le cas particulier et q plus grands que Etant bornée à partir d'un certain rang, la suite est bornée (explicitement par le maximum de |uK1 | + 1 et du maximum des |ak | pour k de 0 à K1 . • Deuxième étape. La suite est bornée. Elle admet au moins une sous suite qui converge. C'est le théorème réel de Bolzano-Weierstrass. On note ϕ l'extraction

des évènements familiers… * Evaluer des durées, c’est à dire mesurer des intervalles réguliers (en secondes et minutes) Les durées présentent des difficultés du fait qu’elles n’utilisent pas un système décimal : 10 unités d’un rang ne donnent pas 1 unité du rang suivant. Il faut additionner les secondes avec les secondes et les minutes avec les minutes et faire les conversions après. De plus, l’utilisation de nombres décimaux rajoute une difficulté aux durées, tout comme les conversions.

démocratie" ; 1954 : "Histoire de l’analyse économique ", livre publié en 1954 Joseph Alois SCHUMPETER est né en 1883 àTriesch, petite ville de Moravie. Son père meurt alors qu'il n'a que quatre ans. Il est donc élevé par son beau-père, officier de haut rang très bien introduit à la cour de Vienne. De là lui viennent probablement les conceptions élitistes qui ont toujours été les siennes. Il étudie le droit et l'économie et il sera fortement influencé, à ses débuts, par l'enseignement des marginalistes

alors ils sont rangés comme leurs carrés a 2 et b 2. Si a et b sont négatifs alors ils sont rangés dans l’ordre inverse de leurs carrés a 2 et b 2. 2. La fonction inverse 1 . x La fonction f est définie sur  −∞  ; 0  ∪ 0  ; +∞   que l'on peut écrire R \ {0 } ou R∗ . Soit f définie par f ( x ) = La fonction f est décroissante sur  −∞  ; 0  et sur 0 ; +∞  . Ce qui précède peut s’exprimer de la façon suivante. Si a et b sont de même signe, alors ils sont rangés dans l’ordre

sous-populations 33 33 35 40 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

25 pour max. A = (80, f (80)) et B =(100, f (100)) dans la fenêtre saisie . Les ordonnées de A et B sont affichés dans la colonne de gauche : f (80) = 3, c’est l’ordonnée de A ; f (100) = 2,4, c’est l’ordonnée de B. (Activité 2) 1 )D’après le théorème de Thalès, puisque (EF) // (BC) : AE = AF donc x = 2,88 . AB AC x + 2 2,88 + x 2) On obtient l’écran suivant : 3) On peut utiliser l’outil « intersection » de la calculatrice et on obtient un point d’intersection dont l’abscisse est 2,4.

Maths en Ligne Développements limités UJF Grenoble 1 1.1 Cours Polynômes de Taylor Commençons par rappeler deux résultats fondamentaux que vous connaissez déjà par cœur (si ce n’est pas le cas, dépêchez-vous de les apprendre). Théorème 1. • Pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 1 = lim 1 + x + x2 + · · · + xn . 1 − x n→∞ x2 xn x + + ··· + . n→∞ 1! 2! n! Le premier s’obtient à partir de l’identité : ex = lim 1 + 1 − xn+1 = (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn ) . Le second se déduit de la formule