Théorème

démontrer qu'une suite est arithmétique ? Il suffit de calculer et de montrer que la différence un+1 – un = constante (indépendante de n). Cette constante est la raison de la suite arithmétique. 3.2) Définition explicite d'une suite arithmétique Théorème : Soit (un) une suite arithmétique de premier terme est u0 et de raison r. (P1) : pour tout entier n⩾0 : un = u0 +n r . (P2) : pour tout entier : n⩾1 un = u1 +(n–1) r . (P3) : pour tous entiers n⩾0 et : p⩾0 : un = up +(n – p) r . { u 0 =2 est une

est un minorant de la suite. La suite de terme général ( −1) est bornée (par – 1 et 1). n On notera l’utilisation de l’article indéfini. 1 2 III. Théorèmes de convergence pour les suites monotones IV. Théorème de divergence pour les suites monotones 1°) Théorème des suites monotones majorées ou minorées (admis sans démonstration) 1°) Théorème des suites monotones non majorées ou non minorées u est une suite monotone. u est une suite monotone. • Si u est croissante et majorée, alors elle

suite [pic] définie pour tout naturel n par [pic] est majorée par 1 et minorée par -1. Donc elle est bornée. • La suite [pic] définie pour tout naturel n par [pic], n’est pas majorée donc elle n’est pas bornée. Mais elle est minorée par 0. Théorème (admis) : • Une suite croissante et majorée converge. • Une suite décroissante et minorée converge. Exemple : [pic] est définie par [pic] et [pic] pour tout naturel n. • Montrer que pour tout naturel n [pic]. ➢ Par récurrence

le jour et la nuit dépendent de la terre et du soleil et que ce dernier ne sera peut être pas présent pour toujours. Ensuite Leibniz parle des vérités nécessaires qui sont présentent dans les mathématiques car les lois, les propriétés, les théorèmes sont généraux et ne dépendent absolument pas des exemples, ils sont applicables universellement. Même nos impressions sensibles n’influencent pas, n’altèrent pas notre perception d’un fait mathématique. Bien que, comme le note Leibniz, nos sens soit

mathématiques sont une science ou les vérités s'imposent elles mêmes à l'esprit, non démontrables mais indiscutables. Par exemple 1+1 = 2. De plus les mathématiques affirmes des définitions, des théorèmes, … qui ne dépendent pas de l'expérience sensible. Par exemple le théorème de pythagore est un théorème purement définit par l'esprit. Pour Leibnitz, les mathématiques sont une science pure parce qu'elle ne s'appuie pas du monde sensible. De même Kant décrit la métaphysique comme étant une pensé ne

ne connaît une expression littérale de la primitive de la fonction x ֏ e− x 2 2) Condition suffisante d’existence Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Alors f admet une (et donc une infinité) de primitives sur I. Démonstration Commençons par démontrer l’existence d’une primitive dans le cas d’une fonction positive monotone croissante sur I. Le théorème se généralise ensuite. Soit f une fonction continue, positive, monotone croissante sur un intervalle I et C f sa courbe

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications

. . . . . . . . . . 2.4.2 Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . 2.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Propriétés des fonctions continues sur un compact . . . . . . . . 2.7 Connexe par arc. Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . 3 Calcul différentiel 3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

développée par Markowitz et à une de ses extentions, le théorème des deux fonds. Dans la première section est présenté le cadre économique de cette théorie du portefeuille. Puis la notion de portefeuille efficient est exposée. Les mécanismes de gestion du risque implicites à l’approche de Markowitz sont ensuite précisés. L’ensemble des opportunités du marché, la frontière des portefeuilles efficients, est ensuite caractérisé. Enfin, la théorème des deux fonds, dont le corollaire est l’optimalité de la

Intégrales doubles et triples 14 - 1 Sommaire 1. Intégrales doubles 1.1. Descrition hiérarchisée de ∆. 1.2. Intégrale double . . . . . . . . 1.3. Théorème de Fubini . . . . . . 1.4. Un cas particulier . . . . . . . 1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . 1.6. Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse