Théorème

d’ordre n-1 obtenu en éliminant dans M la ligne i et la colonne j. Définition (-1)i+j dij est appelé cofacteur relatif au terme aij . On note M la matrice dont les termes sont les cofacteurs de M. ~ M est une matrice carrée d’ordre n. ~ Théorème Si M est inversible alors M 1  1 t~ M det M Exercice Calculer l’inverse de la matrice 2  1 3   A=  3  5  1  1  4  5   Exercices 3) Calculer les inverses des matrices suivantes  1 2  3 0 1 1     A   3 1 3  B  1

F ICHE – M ÉTHODE Comment fait-on déjà ? Équivalent d’un logarithme. • Lorsque lim f (x) = 0, on a Analyse 1 – Croissances comparées ln 1 + f (x) x→a V ERSION FONCTIONS x→a E XEMPLES : • ln(1 + ex ) Rappelons ce fameux théorème dit « des croissances comparées » : T HÉORÈME 1 (Croissances comparées) • ln(1 + x 3 ) ln x lim =0 x→+∞ x • ex = +∞ x→+∞ x α lim lim x α . ln x = 0 lim |x|α . ex = 0 • (1 + x) P ROPOSITION 1 • Au voisinage de 0 :

SUITES MONOTONES. 1. Convergence des suites monotones. 1.1. Théorèmes de convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante

l’hypothèse de récurrence. Il suit que Pn est vraie pour tout n ∈ IN. Pour tout n ∈ IN, puisque un ∈ [0, 1[, on obtient un+1 = f (un ) ≤ un en utilisant (a). La suite est donc décroissante. Elle est de plus minorée (par 0) toujours grâce à (a). D’après un théorème du cours elle converge. (c) Démontrer que l vérifie: l ∈ [0, 1] et l = f (l) puis déterminer l. Solution. La continuité de f est cruciale ici. La suite étant décroissante et minorée par 0, la limite est comprise entre 0 et u0 et donc elle appartient

moment-là à une interprétation souvent fautive. Enfin, les meilleurs exemples sont les sciences (chimie, physique, mathématique,…). En effet, en mathématique on ne peut baser aucun théorème ou formule sur une interprétation. Il faut d’abord faire une démonstration et lorsque celle-ci est terminée, on peut dire que le théorème ou la formule est juste. Il y va de même pour la chimie : un chimiste ne peut en aucun cas se borner à une interprétation et continuer son étude sans être sûr que cette interprétation

............................................................................................. 13 Quelques propriétés du déterminant d’une matrice :..................................................................................... 13 Quelques théorèmes ...................................................................................................................................... 13 9. Les mineurs, les cofacteurs et la matrice adjointe .....................................................

.. 54 B. D’autres exercices à propos de la parité .......................................... 56 4. Division euclidienne ...................................................................................... 57 5. Divisibilité - Approche du théorème de Gauss.............................................. 58 6. Apprendre à reconnaître une situation arithmétique..................................... 60 7. Triplets pythagoriciens.................................................................

conditionnements sont les petits conditionnements (au mieux 1 pour les matrices orthogonales). Pour A symétrique : λ max λ min ; dans la cas général : µ max µ min Théorèmes sur le conditionnement : Théorème : AX = B et A( X + ∆X ) = b + ∆b . On a AX = B et ( A + ∆A)( X + ∆X ) = b . On a ∆X ∆b ≤ Cond ( A) . X b Théorème : ∆A ∆X . ≤ Cond ( A) X + ∆X A Remarque : Le conditionnement traduit l'amplification des grandeurs relatives. Inverse numérique d’une matrice : Soit A une matrice

................................................. 4 1.1.c Résistance ........................................................................................................................................................................ 5 1.1.d Théorème de Millman...................................................................................................................................................... 6 1.1.e Sources de tension et de courant continus...................................

ϕ est classe C 1 . De plus Jacϕ(x,y) = f (x) 1 F (h) = f ( h ) h = (f (0) + h f (0) + o ( h )) h = h + o ( h ) donc F est différentiable en 0 et dF (0) : h → h det(Jacϕ(x,y) ) = f (x)f (y) − 1 = 0 et car |f (x)f (y)| k 2 < 1. Par le théorème d’inversion globale, on peut alors affirmer que ϕ est un C 1 -difféomorphisme. Exercice 4 : [énoncé] a) Par opérations sur les fonctions de classe C 1 , N est de classe C 1 sur Rn \ {0} puisque N (x) = On peut alors calculer les dérivées partielles