Théorème

......... un+1 = q × un Suite géométrique de raison q = 1 formule explicite du terme de rang n ......... un = u0 + n r somme de n + 1 termes consécutifs : up +up+1 +. . .+up+n = (up + up+n ) (n + 1) 2 up (1 − q n+1 ) 1−q Théorème 1 • Si q est un réel tel que q > 1 alors • Si −1 < q < 1 alors n−→+∞ n−→+∞ lim q n = +∞ lim q n = 0 • Si q ≤ −1 alors la suite (q n )n∈N n'a pas de limite. Analyse - chapitre 2 Page 2/3 II II.1 Comportement global d'une

Théorie HOS HOS sont les initiales des auteurs de cette théorie : Hecksher Eli, Ohlin Bertil, Samuelson Paul A., Stolper Wolfgang. Dans le théorème HOS (ou Allocation optimale des ressources par l'échange), chacun doit se spécialiser dans la production pour laquelle il possède une meilleure dotation en facteurs (capital, travail, ressources...). La conclusion est encore plus forte que celle de Ricardo (avantage comparatif) : les pays pauvres n'ont d'autres choix que de se concentrer aux productions

0≤ x x < 1. On sait alors que lim n→ +∞ k k xn = 0. gendarmes permet alors d’affirmer que lim n→ +∞ n! n × n = 0 et donc que Maintenant, on a 0 ≤ Pour tout réel x positif ou nul, 2. kk . k! lim n→ +∞ lim n→ +∞ n x k × kk = 0. Le théorème des k! xn = 0. n! a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. n−1 n−1 n n! = n−1 n n n n n × n× ...× n n × n × ...× n × . = = × × ... 1 × 2× ... × n 2 × ...× n 2 3 n−1 n n n−1 Maintenant, pour tout entier naturel k tel que 2 ≤ k ≤

valeurs dans 2 l’intervalle ] −∞ ; ]. e 2 De plus, 1,05 ∈ ] −∞ ; ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x1 sur l’intervalle ]0 ; e ]. Avec la calculatrice, on trouve : x1 = 1,056 à 10−3 près par excès. Sur [ e ; +∞[, la fonction est continue et strictement décroissante et à valeurs dans ]0 ; 2 ]. e 2 ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x2 sur l’intervalle [ e ;

par quotient :limn→+∞un= -2 un=(-1)n-n, n∈ℕ Pour tout n : (-1)n≤1 (-1)n-n≤1-n un≤1-n Or limn→+∞1-n=-∞ D’où, d’après le théorème de majoration, limn→+∞un= -∞ un= 4- sinn1+ n, n∈ℕ Pour tout n : -1≤sinn≤1 1≥-sinn≥-1 5≥4-sinn≥3 51+n≥4-sinn1+n≥31+n donc 31+n≤un≤51+n Or, par somme et quotient : limn→+∞31+ n=0 et limn→+∞51+ n=0 D’où, d’après le théorème d’encadrement : limn→+∞un=0 un= -2×3n, n∈ℕ On sait que limn→+∞3n= +∞ car 3 &gt; 1 D’où, par produit : limn→+∞un= -∞ un=n-n

du second degré. 1) Objectifs Mathématiques : - - Mise en équation d’un problème concret en passant par une représentation géométrique des données Notion de solution d’équation, notion de calcul algébrique Equation-produit Réinvestissement de théorèmes classiques de géométrie (Pythagore, Thalès) TICE - Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour esquiver des calculs algébriques que les connaissances du collège ne permettent pas de résoudre. 2) Énoncé de l’exercice Une ville carrée de dimension

MESURES DE RISQUE 5 1.1 Les besoins de la théorie 5 1.2 Définitions de mesures de risque 8 1.3 Ensemble de positions acceptables II 1.4 Théorème de représentation. . . . 14 1.5 Appendice d'analyse fonctionnelle 17 1.5.1 Généralités . 18 1.5.2 Théorèmes de séparation . 19 1.5.3 Système dual, topologie faible 23 1.5.4 Transformée de Fenchel-Legendre . 24 CHAPITRE II EXEMPLES DE MESURE DE RISQUE

Logique, Session 4 Etablir la valeur de vérité des formules suivantes: a) P(a,f(a)) b) P(b,f(b)) c) ∀X ∀Y P(X,Y) d) ∀X ∀Y (P(X,Y) → P(f(X),f(Y))) e) ∃X ∀Y (P(X,Y) → P(f(X),f(Y))) Les corrections sont uniquement accessibles sur Internet 2.3 - Théorèmes d'équivalence Soient A, B et C des formules bien formées : 1. Implication matérielle 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. A → B ≅ ¬A ∨ B Equivalence matérielle A ↔ B ≅ (A → B) ∧ (B → A) Commutativité a) A ∨ B ≅ B ∨ A b) A ∧ B ≅ B ∧ A Associativité

. . Exercice n° 2 : suites du type Un=f(n). Calculer les limites des suites suivantes : a. b. c. d. e. Exercice n° 3 : théorème de comparaison. Calculer les limites des suites suivantes : a. Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 1/5 b. Exercice n° 4 : croissances comparées. Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées. a. b. c. Exercice n° 5 : croissances comparées. Etudier le sens de variation des suites suivantes

a g  1 • Si lim g = 0 et g > 0 alors = lim = + ∞ . a a g 1 • Si lim g = 0 et g < 0 alors = lim = − ∞ . a a g • Si lim g = − ∞ alors = lim 1 = 0 . a a g 1 • Si lim g = + ∞ alors = lim = 0 . a a g Il est essentiel de garder à l’esprit que ces théorèmes sont des conditions suffisantes. Les cas non envisagés sont des « formes indéterminées » qui demandent à être étudiées cas par cas. © Tous droits réservés Studyrama 200 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com En partenariat avec : 2