Théorème

une fonction ƒ admet une primitive, alors elle en admet une infinité. Remarque : la définition reste valable si I est une partie (non vide) de Théorème 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Nous admettrons pour le moment ce résultat qui affirme l'existence de primitives mais ne précise rien sur leur détermination. Théorème 2 Soient F et G deux primitives d'une fonction ƒ sur un intervalle I. Alors F et G diffèrent d'une constante : F(x) = G(x) + c (c ∈ Démonstration

indéfiniment (voir la figure à la fin de ce texte) : il faut se méfier des évidences numériques... L’ingrédient essentiel de la preuve de la convergence de la suite de terme général an est le théorème n taubérien d’Ikehara (1931), auquel la partie III et l’essentiel de la partie IV sont consacrées, et dont voici un énoncé. Théorème 1. Soit f : R+ → R+ une fonction continue par morceaux et croissante. On suppose que la transformée de Laplace +∞ F (s) = 0 f (t)e−st dt est définie sur le demi-plan ouvert

.............................................................. 34 4.2.2 Enoncé mathématique du principe fondamental ............................................................... 34 4.2.3 Théorème de la quantité de mouvement, Théorème de la résultante cinétique ............................. 34 4.2.4 Théorème du moment cinétique ................................................................................. 34 4.3 Dynamique des particules chargées ..............................................

l’époque (il sera sénateur). Professeur de mathématiques à l’Ecole militaire de Paris à 19 ans. Membre de l’Académie des i M b d l’A dé i d sciences à 24 ans. Fondateur de l’Ecole Polytechnique et de l’Ecole Normale l Ecole l Ecole Père de nombreux théorèmes en mathématiques Aymeric Histace 13     2. Transformées de Laplace p  Principe de la Transformée :  La transformation de Laplace intervient dans la résolution d'équations et de systèmes différentiels et tout particulièrement

(an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn xn x n x n 0 n x n |an x | = = |an x0 | ≤M · La série est une série géométrique de raixn x0 x0 x0 0 n=0 x son < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série x0 convergente et par conséquent la série ∞ n=0 ∞ n=0 |an xn | est an xn converge absolument pour |x| < |x0 |. ∞ n=0 2.) Soit 0 < r < |x0 | et soit |x| ≤ r. an xn xn x n r n 0 |an xn | = = |an xn | ≤M · Comme 0

convergente lorsqu’il existe [pic] tel que [pic] Remarque : [pic] « Aussi petit que soit [pic] strictement positif, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite [pic] sont dans l’intervalle [pic] ». Théorème : Soit [pic], [pic] Si [pic] converge vers l et l’, alors [pic]. Démonstration : par l’absurde. Supposons [pic], par exemple [pic]. Soit [pic] tel que [pic] (ce qui est possible car [pic]) Alors :

sciences formelles, expérimentales et humaines. Les formelles s’appuient sur des déductions, des théorèmes mais ne sont pas vérifiables par l’expérience : ce sont des mathématiques, c’est-à-dire que c’est de la logique sans être démontrables. Elles servent d’outils pour les autres sciences et d’autres activités humaines. Ici, ça ne s’approche pas de la religion car même si elles imposent des limites (théorèmes par exemple) quand elles sortent de leur contexte, ces sciences n’ont plus de sens, elles n’apportent

d’après les lois d’arithmétiques personne ne sait qui l’a énoncé mais cela n’a aucune importance puisque que nous le démontré grâce à notre raison. C’est ce que nous faisons tous les jours en maths, on nous énonce un théorème, puis il faut savoir le démontrer grâce à des propriétés ou théorèmes précédemment acquis. Kant exprime donc que la connaissance va toujours avec le raisonnement. Mais il faut aussi réfléchir sur l’origine de la connaissance. I. Origine de la connaissance 1) Imitation des puissants

. . . . . . . . . . 1.8.2 Extrema globaux . . . . . . . . . . . 1.9 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrales multiples 2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple introductif . . . . . 2.1.2 Théorème de Fubini . . . . . 2.1.3 Changement de variables . . . 2.1.4 Intégrales doubles généralisées 2.2 Intégrales triples . . .

Vérifier que pour tout entier[pic], [pic] puis démontrer que [pic]. d) En utilisant l’inégalité précédente, pour [pic], établir que [pic] puis que pour tout entier[pic], [pic]. e) Déterminer alors la limite de [pic]. 11) En utilisant un théorème de comparaison, déterminer la limite en [pic] des fonctions suivantes a) [pic]. b) [pic]. c) [pic]. d) [pic] 12) Déterminer la limite en [pic] et [pic] des fonctions suivantes a) [pic]. b) [pic] c) [pic] d) [pic]