Topologie algébrique

Cours de topologie et d’analyse fonctionnelle Master premi`re ann´e e e Rapha¨l Danchin e Ann´e 2009–2010 e 2 Table des mati`res e 1 Un 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 peu de topologie g´n´rale e e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . e Topologie produit (hors-programme) Suites des espaces topologiques . . . Compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 7 8 9 10 13 13 14 17 18 20 25 25 28 30 32 33 37 37 37 38 39 40 43 43 44 46 49 53 53 55 56 57 58

des manuels scolaires français et saoudiens, afin de mettre en évidence que l'éloignement démesuré du calcul algébrique depuis l'époque des mathématique moderne en France a crée une rupture au sein de l'enseignement des nombres relatifs. Alors qu'en Arabie saoudite le problème est bien différent, car les mathématiques modernes sont toujours présentes dans les programmes, et le calcul algébrique fait partie intégrante des programmes mathématiques, mais la question du sens reste toujours posée ! Résumé

exercice 1 Calculer x1² + x2² et x13 + x23 où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c. exercice 2 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f

¢ £ ¢ ¡ I. El Hage www.les-mathematiques.net 2 Deux cas sont possibles : Ker σ 0 ou Ker σ 0 . Dans le premier cas, l’élément a de E sera dit transcendant sur K, et dans le second, a sera dit algébrique sur K. Exemple X K X est transcendant sur K. 1.1 Cas où a est algébrique sur K I a Ker σ , est un idéal non nul de K X . Mais K X est un anneau principal. Donc Ker σ est principal. D’un autre côté, deux générateurs de I a sont tels que l’un d’eux est le produit de l’autre par

signifie qu’il n’existe pas de polynôme non-nul à coefficient entier dont est la racine. 2) Le plus petit ensemble de nombres qui contient est l’ensemble des Réels. () 3) n’est pas un nombre algébrique. Un nombre algébrique est un nombre qui est la solution d’une équation algébrique à différents entiers. 4) On peut qualifier le nombre d’un nombre transcendant. 5) Une approche approximative du nombre Pi est révélée par Archimède, mathématicien, physicien, et ingénieur, né

étape - lemme n° 2 : un lemme sur la dérivation.15 IV.2.d. Deuxième étape : l'égalité 17 IV.2.e. Troisième étape : minoration17 IV.2.f. Quatrième étape : majoration18 V. Transcendance de π21 V.1. Préliminaires21 V.1.a. Propriétés des nombres algébriques 21 V.1.b. Polynômes symétriques22 V.2. Démonstration de la transcendance de π24 V.2.a. Formule d'Euler24 V.2.b. Définition d'un polynôme à coefficients entiers24 V.2.c. Un multiple de p.26 V.3. Une égalité impossible29 V.3.a. Minoration du

« nombre algébrique », entier algébrique, polynôme normalisé, polynôme canonoque et nombre transcendant ainsi : un nombre complexe est dit algébrique s'il existe un polynôme P(x) non constant à coefficients entiers (c'est à dire dont les coefficients appartiennent à et tel que si de plus le polynôme P(x) peut être choisi « normalisé », c'est à dire tel que le coefficient de son terme de plus haut degré soit 1, on dit que est un entier algébrique un nombre qui n'est pas algébrique est dit

d'assurer à la construction son indéformabilité, donc sa solidité et sa stabilité; en mathématiques, une structure désigne une théorie reposant sur le produit cartésien de deux ensembles non nécessairement distincts, à commencer par la structure algébrique qui est un ensemble muni de loi de composition ; en logique mathématique, le terme de structure est une notion proche de celle de modèle ; en informatique, une structure de données est une structure logique destinée à contenir des données ; en

effet, la complexité et la richesse du programme de neuvième exigeraient un rythme soutenu de travail, n’autorisant aucune perte de temps. Le plan d’étude en donnerait de multiples exemples. Des chapitres comme les systèmes d’équations, le calcul algébrique, les théorèmes, en géométrie, ne pourraient être traités de manière satisfaisante qu’en mettant à profit chaque heure de cours, dans son intégralité. Est-il légitime que seuls les impératifs du programme soient pris en considération dans le

vecteur propre normé de la matrice de corrélation R associé à la plus grande valeur propre … Cette droite maximise l’inertie des points du nuage projeté sur ∆1 qui vaut … Y1 est une nouvelle variable définie pour chaque individu par la longueur algébrique de la projection de l’individu sur ∆1. C’est une variable centrée de variance … La corrélation entre la 1ère composante et les variables initiales permet de donner un sens à la composante Part d’inertie expliquée= mesure de la qualité globale de