Triangle amoureux

positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives : a = −1 + i, b = 3 − i et c = −2 − i. → → a. Déterminer les affixes des vecteurs AB et AC b. Calculer AB et AC → → c. Déterminer une mesure de (AB ; AC). Peut-on en déduire la nature du triangle ABC ? → → d. Déterminer une mesure de l’angle orienté (u ; OA). Exercice 6 (2 pts) → → Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i| b. |z + 4 – i| = 2 Exercice

d'Euler : sin4 x = = eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16 1 4 QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2 (on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coecients de la 4e ligne du triangle de Pascal : (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 Ce qui donne, puisque eiα + e−iα = 2 cos α : 1 (2 cos(4x) − 8 cos(2x) + 6) sin4 x = 16 1 1 3 = cos(4x) − cos(2x) + 8 2 8 Alors, le reste est facile : 1 3x 1 I = sin(4x) − sin(2x) + 32

1) Faire une figure en perspective (le carré sera représenté en perspective par un parallélogramme). 2) La pyramide OBCDE a un volume de 400 cm³. En déduire le volume de la pyramide OMNQR. 3) La face OBC a pour aire 64 cm². En déduire l’aire du triangle OMN. 4) Calculer l’aire latérale de la pyramide OMNQR. Exercice 4 (corrigé) Soit un cône de révolution de sommet I et de base le cercle C de centre O, de rayon 3 cm et de hauteur IO’ 5 cm. 1) Calculer le volume du cône 2) Soit un point A

¼ ¼ ¼ Ù ½ Ù Ù Ú · ÙÚ Ù   Ù¾ ¼ ¼ ¼ Ù ¼ · Ú¼ ¼ Ù Ù Ú   ÙÚ Ú Ú¾ ´Ù Æ Ú µ ´Ù Æ Ú µ Ú eÙ Ù ´eÙ µ Ù , Ù ` valeurs strictement positives a ´ÐÒ Ùµ Ù ´ Ù« µ « Ù« ½ Ù ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼   ¼ Parall´logramme : e Ë ×Ò Triangle : Ë ½ ¾ ½ ¾ ×Ò Cercle, disque : È ¾ Ö, Ë Ö¾ 2.4 Si Calcul int´gral e est une primitive de , alors Formules de Chasles ´Øµ dØ · ´Øµ dØ ´Øµ dØ ´Øµ dØ ´ µ   Parall´l´pip`de : ee e ´ µ Î ×Ò Cylindre : Ëlat´rale

SABC est une pyramide de base triangulaire ABC telle que : AB = 2 cm ; AC = 4, 8 cm ; BC = 5, 2 cm. La hauteur SA de cette pyramide est 3 cm. C A B Page 3/7 1) Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC à partir des deux points B et C donnés sur l’annexe 1. 2) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. 3) On veut construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC. Le début de ce patron est dessiné ci-contre à main levée. Compléter le dessin de la feuille annexe 1 pour obtenir

2) au plan P est : 2 3 2. 3. 4. 5. 6. Exercices de géométrie 2 Baccalauréat S 2. Centres étrangers juin 2005 Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD. 1. Montrer que la droite (AA1 ) est orthogonale au plan (BCD). − → −→ − → −→ − − − − On pourra par exemple calculer AA1 · CD et AA1 · BC . 2. En exprimant de deux façons différentes le volume du

produit scalaire (première) VI. Coordonnée d'un vecteur normal Soit D la droite d'équation Alors est normal à D dans un repère orthonormal . VII. Théoréme d'Al Kashi Soit ABC un triangle quelconque . On a : VIII. Théoréme de la médiane Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] . On a : IX. Aire d'un triangle X. Applications Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité : a) L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB] b) L'ensemble des points M est

est a) b) c) 2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que z = z + est a) l’ensemble vide b) un cercle c) une droite 3) Soit z un complexe de module 2, M le point d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x et y deux entiers naturels non nuls vérifiant : 2x = 3 y et x un entier pair Le reste de la division euclidienne de y par 4 est : a) 2 b) 1 c) 0 Exercice 2: (5points) 1° a) Montrer par récurrence

E=2*(-3)2+34*(-3)+40 E=54-102+40 E=8 Exercice n°4 : (3 points) Dans les triangles OAB et OCD, les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans le même ordre. ))= ))= ))= )) et ))= )) Donc ))= )) D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Alors le quadrilatère ABCD est un trapèze. Exercice n°5 : (2,5 points) Dans le triangle OCE, les points O, A,C et O, D, E sont alignés dans le même ordre. ))= ))= )) et ))= ))= ))

théorème de géométrie ane plane qui donne une condition nécessaire et susante pour que trois points appartenant respectivement aux trois côtés d'un triangle soient alignés. Sous les mêmes hypothèses, le théorème de Ceva donne quant à lui, une condition nécessaire et susante pour que trois droites passant respectivement les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes. Ces théorèmes ont longtemps été énoncés et démontrés dans le plan ane. Mais avec l'avènement de la géométrie projective