Vecteur propre

Exercice 0.3 (a) Démontrez la règle « BAC-CAB » : A × ( B × C ) = B ( A · C ) − C ( A · B ). (b) En déduire que A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0. Exercice 0.4 Déterminez le vecteur η = r − r� séparant les points r� = (2, 8, 7) et r = (4, 6, 8). Déterminez la norme η = |η| et le vecteur unitaire ηˆ = η/η. Exercice 0.5 Calculez le gradient des fonctions suivantes : (a) f ( x, y, z) = x2 + y3 + z4 . (b) f ( x, y, z) = x2 y3 z4 . (c) f ( x, y, z) = ex sin y ln z. 1 Exercice

Le système de référence : Ensemble de 3 axes perpendiculaire, supportant chacun un vecteur unitaire prenant son origine au centre du système de référence et tournant dans le sens trigonométrique. Notions relatives :Ne dépendent pas du référentiel utilisé. La position instantanée et la trajectoire. La position instantanée : Le point où se trouve l’objet a un moment donné. Elle peut être décrite par le vecteur position instantanée qui a caractéristiques : -Le point d’application : O, l’origine

∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3. 2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici √ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc nous avons λ1 = −1 et λ2 = 3. 3. Les valeurs propres comment sont-elles ? (a) λ1 , λ2 complexes

- Chapitre 5 Valeurs propres et vecteurs propres Diagonalisation Table des mati`res e 1 Valeurs propres et vecteurs propres 1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice

Comment trouver les valeurs propres, les vecteurs et espaces propres? Proc´dure pour trouver les valeurs propres, les vecteurs et espaces e propres 1 e Pour trouver les valeurs propres, trouver les solutions de l’´quation caract´ristique e det(A − λI ) = 0. Pour chaque valeur propre, r´soudre l’´quation e e (A − λI )x = 0 pour trouver l’espace propre correspondant. 2 3 Les vecteurs non nuls de chaque espace propre sont des vecteurs propres associ´s aux valeurs propres donn´es. e e Yasmine

et son e orthogonal et est non nul : c’est une contradiction. Finalement rg(B) ∈ {0, 2} 2 B.2 Si B = 0 alors le r´sultat demand´ est imm´diat avec β = 0 et P = I3 . Sinon, B est de rang 2 e e e et son noyau est de dimension 1. Notons e1 un vecteur norm´ de ce noyau et compl´tons en une e e b.o.n. B = (e1 , e2 , e3 ) de R3 . (e2 , e3 ) est une base de ker(uB )⊥ et cet espace est stable par uB . On 0 0 en d´duit que dans B, uB est repr´sent´e par une matrice du type e e e o` B ∈ M2 (R). u 0 B

trique d´ finie positive. e e e PARTIE I Pour r´ el, soit e l’endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est . I.1 D´ terminer suivant les valeurs de , le rang de la matrice e . Quelle valeur propre de a-t-on ainsi mise en evidence ? Pr´ ciser la dimension du sous-espace propre associ´ . ´ e e I.2 Montrer que et . I.3 a) Montrer que pour tout r´ el, e est trigonalisable. b) D´ terminer l’ensemble des valeurs de pour lesquelles e est diagonalisable. I.4 Dans cette question, on

d’étendre l’étude à des mouvements dans le plan (en deux dimensions) puis dans l’espace. •Dans l’espace, le vecteur position r d’une particule mobile de coordonnées (x, y, z) est un vecteur qui relie l’origine du système de coordonnées à la position de la particule, tel que r=xi+yj+zk •Ainsi, le déplacement d’une particule d’un point P1 de vecteur position r1 vers un point P2 de vecteur position r2 est donné par: Δr = r2 - r1 = Δx i + Δy j + Δz k •De ce déplacement, l’on peut définir une vitesse

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Unité : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Terminale STI CINEMATIQUE - Position, trajectoire et mouvement. Page 2/5 5 VECTEUR POSITION Il nous faut être en mesure, à tout instant, de définir la position de n’importe quel point du solide dans l’espace. A cette fin, on utilise un vecteur position. Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un r r r repère ℜ0 (O, x, y, z) . Soit M un point appartenant au solide (S) de coordonnées x(t),y(t),z(t) à

LES VECTEURS http://jam.bouguechal.free.fr Diapositive 1 2/19/15 02:53:48 PM Bouguechal/Larbi/Lekic I 2012-2013 Cours de Physique PHYSIQUE I 1. Définitions 2. Quelques opérations simples sur les vecteurs 3. Vecteur libre et vecteur lié 4. Produit scalaire 5. Produit vectoriel 6. Produit mixte 29/08/2011 IPSA Bouguechal 2011Diapositive 2 2/19/15 02:53:49 PM M.Bouguechal/Larbi/Lekic 2012 cours de Physique I I 2012-2013 Cours de Physique 2 PHYSIQUE I 1. Définition générale : Un vecteur est