Vecteur propre

Vecteurs Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. En mécanique du solide, l'espace géométrique de travail est de dimension 3, et dans un espace vectoriel de dimension 3, tracer des flèches pour imager les vecteurs utilisés est souvent commode. Dans tout ce site et sauf mention contraire, l'espace vectoriel de travail est un espace de dimension 3. Champ de vecteurs Un champ de vecteurs est une application qui à tout point de l'espace fait correspondre un vecteur. On note M(P,t),

aérodynamique et la hauteur de chute suffisamment faible pour que le temps de chute soit petit devant le temps τ caractéristique de la chute ( résistance de l’air négligeable ). 2. Vecteur accélération d’un mouvement de chute libre Lors de la chute libre d’un solide, le vecteur accélération a G de son centre d’inertie est égal au vecteur champ de pesanteur g : aG = g L’accélération est indépendante la masse de l’objet Important : il faut savoir démontrer ce résultat à partir de la deuxième loi de Newton.

beaucoup utilis´e en m´ecanique des fluides. En e´ lectromagn´etisme, la force qui L’op´erateur A · ∇ ou A · grad s’exerce sur un dipˆole (´electrique ou magn´etique) s’exprime en fonction de cet op´erateur. Il transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Son expression est : ∂ ∂ ∂ #– # – A · grad = A x + Ay + Az ∂x ∂y ∂z (14) Il faut l’utiliser composante par composante en coordonn´ees cart´esiennes. #– # – #– B s’´ecrit : Par exemple, la composante selon x de A · grad ∂B x ∂B x

champ de pesanteur est identique en direction, sens et intensité: on dit que le champ de pesanteur est uniforme. Dans une telle région le vecteur champ de pesanteur g est constant. Lorsque le champ de pesanteur est uniforme, son vecteur est porté par des verticales parallèles: ce sont des lignes du champ de pesanteur qui sont orientées de haut en bas comme le vecteur champ de pesanteur g. Remarque. Ce champ existe en un point au voisinage de la Terre qu’il y ait ou non un objet de masse m placé en ce

la force exercée par la Terre sur l’objet. On le note P = m g où g est le vecteur pesanteur. Cette force apparaît comme un cas particulier de la loi générale de l’attraction gravitationnelle. Soit deux objet ponctuels A et B, séparés d’une distance d et de masses respectives mA et mB. d A , mA u FA / B B , mB L’’expression de la loi de gravitation universelle est : − G × mA × mB u FA→B = d² u est le vecteur unitaire porté par la droite (AB) et allant de A vers B G=6,67.10-11m3kg-1s-2

En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs mesure le défaut de conservation du volume sous l'action du flot de ce champ. Plus précisément, soit t\mapsto \phi_t(x) la trajectoire du champ X issue de x. Ces trajectoires s'organisent en une famille de transformations x\mapsto \phi_t(x) (le flot de X), et pour tout domaine D on a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} vol(\phi_t(D))_{\vert t=0} = \int_D \operatorname{div} X \mathrm{d}\mathbf{x} Un champ à divergence nulle est un champ qui

div . rot grad 2 grad . . rot rot 3 Théorème d’OSTROGRADSKY . Le flux d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l’intégrale triple de sa divergence étendue au volume intérieur de cette surface. COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ 4 Théorème de STOKES . . La circulation d’un champ de vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers une surface quelconque

Champ de vecteurs Soit (ε) l’espace affine à trois dimensions et (E) l’espace vectoriel associé. r V Une fonction vectorielle F qui associe à tout point P derl’espace (ε) un vecteur r de l’espace (E) définit un champ de vecteurs. On note V = F (P ) 1.2. Champ uniforme r r Considérons la fonction vectorielle F qui associe au point P un vecteur V = F (P ) r r et au r point rQ un vecteur V ' = F (Q ) . Si F (Q ) = F (Q ) quelque soit P et Q ∈ (ε ) , alors on dit que le champ de vecteurs est uniforme

donne que la valeur de la vitesse du vent. Il n’indique pas la direction et le sens du vent. Q13. D’après la diapositive 11, l’ile de France est la région où les vents sont les moins intenses. Une ligne de champ est une courbe qui est tangente aux vecteurs qui représentent la grandeur physique. Q14. Voir ci-dessus IV. Le champ de pesanteur : Q15. FTerre/Objet = G. mobjet .MT ( RT + z ) 2 Q16. Pobjet = FTerre/Objet mobjet .MT mobjet.g = G. 2 ( RT + z ) g = G. MT (RT + z ) 2 Q17. La valeur du

z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M. x = Pr oj Ox OM ; 0 y = Pr ojOy OM 0 ; z = Pr oj Oz OM . 0 z M k O j y i x y0 m x0 Dans R0 , le vecteur position s’écrit : OM = Om + mM = x i + y j + z k . Déplacement élémentaire. Le vecteur déplacement élémentaire MM ' (M’ est rès voisin de M) s’écrit: MM ' = d OM = d M = dx i + dy j + dz k (Dans R0 , d i = d j = d k = 0 ) II] Systèmes de coordonnées cylindriques. ] Si la trajectoire