Vecteur propre

. . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Matrice de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 1.2.2 Rotation d’un point appartenant a un solide . . . . . . . 1.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Rotation d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Propri´ t´ s des rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2.6 Combinaison de rotations . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Repr´ sentation de l’orientation d’un solide dans l’espace e 1.3 Transformations

constantes (e,pi,...). 6 On déclare un vecteur colonne de la façon suivante : u=[1;3;-1] u = 1 3 -1 un vecteur ligne de la façon suivante : v=[1,3,-1] v = 1 3 -1 et une matrice d'ordre 3x2 : A=[1,2 ; -1, 3; 4, 0] A = 1 -1 4 2 3 0 la ',' sert à séparer les éléments d'une ligne et ';' les éléments colonnes. En fait, on peut remplacer la ',' par un espace pour améliorer la lisibilité : vb=[1 3 -1] vb = 1 3 -1 Pour spécifier un élément d'un vecteur, d'une matrice, on utilise la syntaxe

Table des mati` eres a Mines Nancy. Introducto Cours de calcul tensoriel pour la physique d’Emmanuel Plaut ` 5 1 Alg` ebre tensorielle 9 1.1 Espace - Vecteurs - Base et rep`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vecteur 9 1.1.1 Remarque sur la notation : fl`eche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Ex. 1.1 : Sur la

variables orthogonales ne sont pas toujours indépendantes (même si ce sont des variables de loi gaussienne). Soit X = (X1 , . . . , Xp ) un vecteur aléatoire ; on associe à X la matrice de covariance Σ formée des cov(Xi , Xj ) pour i et j variant de 1 à p. Cette matrice est symétrique et positive. Si (a1 , . . . , ap ) et (b1 , . . . , bp ) sont des vecteurs réels : cov(a1 X1 + +ap Xp , b1 X1 + · · · + bp Xp ) = (a1 , . . . , ap )Σ t (b1 , . . . , bp ). Si P est la matrice d'une transformation linéaire

est une matrice de M , non scalaire ( b = 0 ) , donc elle est diagonalisable si et seulement si elle admet deux valeurs propres r´elles distinctes e Donc u est diagonalisable si et seulement si α2 + 4β2 > 0 2 Quand a = 3 et b = c = −2 , χU (x) = x2 − x − 2 4 2 , u admet deux valeurs propres doubles -1 et 2 Quand a = 3 et b = c = 1 , χU (x) = (x − 2) , u admet une valeur propre quadruple 2 Probl`me 2 e Soit u : [a, b] → R d´finie par : ∀x ∈ [a, b] , u(x) = ax3 + bx2 + cx + d , o` a, b, c, d

. . . . . . 246 11.1 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 246 249 253 253 254 256 257 259 260 261 262 VII 11.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE 12 • DÉRIVATION VECTORIELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Dérivée d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: Hz . . . ). e • – Les vecteurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras (e.g. E). e e – Les composantes d’un vecteur sont sp´cifi´es par l’entremise de leur coordonn´e e e e mise en indice inf´rieur (e.g. Ex ou Eθ ). e – Les phaseurs et les quantit´s complexes qui en d´coulent, avec un module et e e une phase, sont plutˆt repr´sent´s par leur identificateur surmont´ d’une barre o e e e ¯ ¯ ¯ (e.g. E, Eθ ou Zi ). – Ainsi, les vecteurs-phaseurs sont identifi´s par

origine). 1. à t = 2, 0 s, quelle est la position de l’étudiant ? et sa vitesse ? Exercice 3 : Vibrations de l’oeil Lorsque la tête est mise en vibration à la fréquence de 29 Hz, la vision devient floue car il s’agit de la fréquence naturelle (ou propre ou encore de résonance) du globe oculaire dans son orbite. Estimer la raideur des muscles qui maintiennent l’oeil en équilibre. Exercice 4 : Peser l’ADN On peut «peser» la masse de l’ADN en mesurant son influence sur un nano-oscillateur. La figure

particulière : toutes les valeurs sont comprises entre 0 et 1 et la somme sur les lignes vaut 1. Cette matrice est aussi appelée matrice stochastique. Propriétés 1: Toute matrice stochastique P admet le vecteur colonne dont toutes les composantes sont égales à 1 (noté C) comme vecteur propre associé à la valeur propre 1. Réciproquement, si ∀ (i, j) ∈ [1 ; r] ² pij ≥ 0 et P × C = C, 50 alors P est une matrice stochastique. Si P est une matrice stochastique, alors pour tout k ∈ Ν, P k est une matrice stochastique

plasma (gaz de particules chargées) ont les propriétés d’un fluide. Pour décrire l’état fluide adoptons deux points de vue : point de vue macroscopique : Un fluide est un système déformable sans forme propre. ◦ L’état liquide : les liquides sont des fluides très peu compressibles et ont donc un volume propre. En première approximation on pourra considérer la masse volumique invariable : Approximation : µ ≈ constante ce qui revient à considérer que la compressibilité ainsi que le coefficient de dilatation