Vecteur propre

euclidiennes et non plus des distances calculées selon la métrique du 2; * d'autre part, on recherche les directions de plus grande dispersion dans ces nuages de points images. La matrice (tableau de valeurs) dont on recherche les valeurs propres et vecteurs propres est un objet mathématique "compliqué", qui ne possède pas de signification intuitive immédiate. II-fondements statistiques et mathématiques et composantes de l’AFC 1- Fondements de l’AFC : L’analyse factorielle

inversible. ee e e La propri´t´ (P4 ) n’est pas v´rifi´e, car GLn n’est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le ee e e vecteur nul). La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e, car GLn est un groupe. ee e e I.B.1. Si l’on note (e1 , . . . , en ) une base, et si A est triangulaire dans cette base, il vient Aen = an,nen , ce qui signifie que en est vecteur propre associ´ a la valeur propre an,n. e` On en d´duit que la propri´t´ (P6 ) n’est pas v´rifi´e, car Vect(en ) est un sous-espace de dimension 1, e ee e e

les variables sont corrélées positivement. La corrélation est forte entre les 2 premières, et entre la 3è et la 4è. La cinquième est faiblement corrélée aux autres variables. 2 Analyse en composantes principales (normée) 1 Valeurs propres et vecteurs propres. Composantes principales Les composantes principales CP1, CP2, ..., CPp sont des variables obtenues comme combinaisons linéaires des variables de départ, et qui vérifient les propriétés suivantes : - CP1 représente la direction de

colonnes. La ligne i décrit la valeur prise par m variables quantitatives pour l'individu i . Avant toutes choses, les données sont centrées et réduites, c'est-à-dire que chaque variable a une moyenne nulle et une variance égale à 1. On note Xj le vecteur-colonne constitué par les éléments de la colonne j ; xij désigne l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j, c'est-à-dire la valeur de la variable xj pour l'individu i . 3 - LE PROBLÈME Pour observer sous un angle plus favorable

mutations du système permettent ils d’alterner entre périodes de croissance et périodes de crise ? Dans une première partie nous verrons le mode de financement des agents économiques au cœur de la croissance, puis des modes de financements limités vecteurs de crise économique. Définition : Comportements financiers des ménages : manière dont dispose un ménage de ces revenus. Comportements financiers des entreprises : manière dont dispose les entreprises de leurs revenus. Mutations du système financier :

. . . . . . . . . Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résultats supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditionnement d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 9 9 11 12 16 18 21 21 25 26 26 28 33 40 44 44 51 54 57 64 68 68 68 71 73 74 76 Les calculs de produits matrice-vecteur et matrice-matrice dans un

triangulaire inf´rieure. e −1 U = D F triangulaire sup´rieure. e 1.4.2 Convergence de la m´thode e Montrons d’abord le r´sultat pr´liminaire suivant. e e Proposition 4 On a ρ(Lω ) ≥| ω − 1 | et l’´galit´ n’est possible que si toutes les e e valeurs propres de Lω ont le mˆme module ´gal ` | ω − 1 |. e e a 9 Preuve: Soit P (λ) = det[λI − Lω ] = det[λI − (I − ωL)−1 ((1 − ω)I + ωU )] = det[(I − ωL)−1 ] . det[λ(I − ωL) − (1 − ω)I − ωU ] = det[λ(I − ωL) − (1 − ω)I − ωU ] donc n (ρ(Lω )) n

+ 49) + 321X − 1906 = −X 3 + 468X − 2592 = (6 − X)(X 2 + 6X − 432) = −(X − 6)(X − 18)(X + 24) . Les valeurs propres de A sont donc 6, 18 et −24 ; des calculs simples montrent que les sousespaces       i −i i propres correspondants sont respectivement engendrés par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux autres pour le produit

chaque ligne j le disque fermé Dj dont le centre est l’élément diagonal n ajj et le rayon la somme des modules des éléments extra-diagonaux Rj = k=1; k=j |ajk |. Théorème 1.1 “Théorème de Gershgorin”. Avec les notations précédentes : Toute valeur propre λ de la matrice A appartient à l’un au moins des disques de Gershgorin, i.e. : ∀ λ ∈ Sp (A) , ∃ j tel que λ ∈ Dj . De manière équivalente, ce théorème précise que le spectre de A, noté Sp (A), est globalement inclus dans la réunion des disques de

points sont équidistants d’une distance h (pas d’échantillonnage). 19 Chapitre 2 Contours actifs Figure 2.3 : Discrétisation de la courbe C Au point , les derivées premières et secondes par rapport à x de la composante x du vecteur C sont respectivement approchées par : ( L’équation Avec ( ( ) ( ) (II.10) ( ) ) l’équation devient alors: ) ( ) Ainsi l’équation d’Euler s’écrit sous la forme matricielle suivante [17] : ( ( Où ( ) , ( ) et ( ) ) ) (II.11) est