Vecteur propre

principaux sont les vecteurs propres de V M = X DXM sont les vecteurs propres de W D = XM X D constituent un repère des individus constituent un repère des variables 8. Soit une ACP de (X, M, D). Les composantes principales sont les vecteurs propres de V M = X DXM sont les vecteurs propres de W D = XM X D constituent un repère des individus constituent un repère des variables sont des variables synthétiques: combinaisons linéaires des variables initiales 9. Dans quel espace vit le vecteur de coordonnées

2 millions d’euros pour son autoconsommation. Enfin, la branche B5 utilise 8 millions d’euros de produits de la branche B1, 4 millions d’euros de la branche B2, 2 millions d’euros de la branche B4 et 6 millions d’euros de produits provenant de sa propre consommation. 1. Expliciter les coefficients techniques, c’est-à-dire qui donnent la quantité de produit [pic] nécessaire pour produire une unité de produit dans une autre branche [pic]. 2. Expliciter les valeurs ajoutées de chaque branche,

II-1 Vecteurs orthogonaux II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux III- Application aux droites et aux plans III-1 Droites dans III-2 Plans et droites dans II- Résolution d’un système linéaire II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer IV- Retour aux systèmes linéaires IV-1 Images et noyaux orthogonaux IV-2 Sous espaces propres orthogonaux III- Applicaton aux éléments propres d’une

poursuivre la maximisation de l'inertie, et ainsi de suite jusqu'au pième axe Les axes obtenus correspondent aux vecteurs propres de la matrice XTX, ordonnés en fonction de leurs valeurs propres, de la plus grande à la plus petite .4„. Les valeurs propres = l, ..., n sont positives ou nulles, car la matrice W X est une syrnétrique définie positive. En notant Vnxq la matrice des vecteurs propres, la transformation à effectuer sur des données centrées pour obtenir les composantes principales s'exprime par

de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e I.1. Premi`res propri´t´s. e e e a. Si x est vecteur co-propre (non nul) associ´ a µ 1 et µ2 il vient (µ1 − µ2 )x = 0 donc µ1 = µ2 car x = 0. e` cqfd. b. Si µ est valeur co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθ est ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe

matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e  λ1 0   −1 P AP =  0   0 ∗ ...

composante principale : 1er axe principal ∆1 1ère composante principale Y1 Qualité globale d’Y1 Qualité de représentation des individus sur ∆1 La droite ∆1 passe par l’origine O et est engendré par le vecteur u1 vecteur propre normé de la matrice de corrélation R associé à la plus grande valeur propre … Cette droite maximise l’inertie des points du nuage projeté sur ∆1 qui vaut … Y1 est une nouvelle variable définie pour chaque individu par la longueur algébrique de la projection de l’individu sur

où Γ est la matrice exemple de la partie I. 3 III. Calcul de la distance de A à On ( ! ) A. Théorème de la décomposition polaire 7. Montrer qu’une matrice S de S n ( ! ) appartient à S n + ( ! ) si et seulement si toutes les valeurs propres de S sont positives ou nulles. 8. Si A est une matrice de Mn ( ! ) montrer que la matrice t A A ∈ S n + ( ! ) . 9. Soit A une matrice de Mn ( ! ) , on suppose qu’il existe une matrice diagonale D = diag (d1 , d 2 , ..., d n ) à termes positifs

réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k! +∞ De même si u est un endomorphisme de E, l’exponentielle de u est l’endomorphisme

1. D´terminer les valeurs propres λ1 et λ2 de l’endomorphisme f , avec λ1 < λ2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A−1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justifier que f n’est pas diagonalisable. → 5. D´terminer le vecteur −1 de E v´rifiant : e u e → • −1 est un vecteur propre de f associ´ ` la valeur propre λ1 u ea → • la premi`re composante de −1 est l. e u → 6. D´terminer le vecteur −2 de E v´rifiant : e u e →