Vitesse limite

Chapitre 2 Limite d’une suite 1.  Page d’ouverture • Énigme ✱ L’épaisseur d’une feuille est de 0,01 cm. Si on plie la feuille une fois, l’épaisseur est alors 2 ¥ 0,01 cm. Si on plie encore une fois, l’épaisseur est égale à : 22 ¥ 0,01 cm = 22 ¥ 0,01 cm et ainsi de suite… ième pliage, l’épaisseur est donc égale à 2n ¥ 0,01 cm. Au n Prenons pour distance moyenne entre la Terre et la Lune d = 384 400 km = 3 844 ¥ 107 cm. On cherche la première valeur de n pour laquelle 0,01 ¥ 2n

valeurs de 2 ∗ ∗ ∗ temps t k −1 et t k , est voisin de v ( t k ) ∆t k = ( t k ) ∆t k , où t k ∈ [t k −1, t k ] . Le déplacement total sera donc voisin de la somme de tous ces déplacements. Le déplacement réel s’obtient par un passage à la limite. 10 10 0 n 0 Déplacement = lim ∑ v ( t ) ∆ t k = ∫ v ( t ) dt = ∫ t 2 dt n →∞ ∆ t k →0 k =1 ∗ k 10  d  t3  2   =t  dt  3  0 103 03 1000 = − = m 3 3 3 t3 = 3 © ERPI -6- ⇒  t3 est une

un=2n3n-n3n=vn-n3n. On en conclut que pour tout n, un≤vn. La suite v majore donc bien la suite u. En déduire la limite de la suite u. La suite u est minorée par la suite nulle, et majorée par la suite v. Or la limite de la suite v est 0 car c’est une suite géométrique dont la raison est comprise strictement entre -1 et 1. La suite u est donc encadrée par deux suites ayant pour limite 0. On en conclut, d’après le théorème d’encadrement, que limn→+∞un=0 Problème Soit (un) la suite définie

test (1/2 h) Ch 9 : Limites Comportement asymptotique des fonctions Exercice 1 (1,5 point) Le graphique suivant montre la courbe d’une fonction f définie sur ] [pic] ; – 4 [ [pic]] – 4 ;1 [[pic]]1 ;+[pic][ qui admet deux asymptotes verticales d’équations x = – 4 et x = 1 . Par lecture graphique donner les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition. [pic] Exercice 2 (2 points) Déterminer les limites des fonctions suivantes

1ère BT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008 Devoir surveillé n 2 ˚ EXERCICE no 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x→+∞ 2. lim x→2− −3x2 + 4x + 1 3. x+3 x2 − 4 4. lim+ lim x→−∞ x→0 x2 − 5x4 + 3x − 1 x4 − x2 − 1 x2 − x + 1 + ln x 2 5. 6. lim x→+∞ ln x x3 + x x2 e lim ex + e−x + x→−∞ √ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative

majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ; donc f est born´e comme somme d’applications born´es puisque e e e e f = (f − fn ) + fn . Enfin on a dit que si ε > 0 est donn´, il existe un rang n0 tel que e 1) ∀x ∈ [0, 1], ∀p ∈ N, ∀n ≥ n0 , |fn(x) − fn+p (x)| ≤ ε Faisons encore p → +∞: par passage a la limite d’in´galit´s larges il vient pour tout x ∈ [0, 1] |f n(x)−f(x) ≤ ` e e ε ie N∞ (f − fn ) ≤ ε

n. 4 c P.Brachet - www.xm1math.net Kit de survie - Bac S 2-5 Limites de suite n→+∞ • Une suite (Un ) est dite convergente s’il existe un réel l tel que lim Un = l. • La suite est dite divergente si elle n’admet pas de limite ou si lim Un = ±∞ n→+∞ • Les théorèmes sur les opérations avec les limites de fonction restent valables pour les suites. Pour les suites définies par Un = f (n) : si f admet une limite en +∞ alors lim Un = lim f (x). n→+∞ x→+∞ (dans la pratique, on peut

L’encadrement précédent permet (en multipliant par n et en divisant par ln αn , pour n = 1) d’obtenir les deux inégalités : 2 αn n (e − αn ) et α2 n (e − αn ). On obtient donc l’encadrement fin ln αn nal : 2 αn α2 n (e − αn ) n ln αn d. Par passage à la limite on a donc lim n (e − αn ) = e2 .. n→+∞ On peut en déduite que lim αn = lim e 1 − n→+∞ n→+∞ e . n La suite (αn ) converge donc comme la suite 1 c’est-à-dire lentement. n novembre 2006 6 

un entier naturel. un+1 − un = un − Donc la suite (un ) est décroissante. d. Puisque la suite (un ) est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un ) est convergente. e. Notons ℓ la limite de la suite (un ). Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 4 et donc par passage à la limite quand n tend vers +∞, on a 0 ≤ ℓ ≤ 4. Puisque la fonction f est continue sur [0; 4] et donc en ℓ, en faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité un+1 = f(un ), on obtient f(ℓ) = ℓ. La question 3) de la partie

K ( K = R ou K = C ) , unicité de la limite ; toute suite convergente est bornées , toute suite convergente vers un réel non nul est du signe de sa limite APCR ; suite extraite : définition , sous-suite d’une suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞