Voie métrique

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

suite est conver- gente si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. 3. Soient A et B deux sous-ensemble~ de E d'intersection trer que A U B est connexe c.Q\.1\1.W non vide. Mon- Exercice 1 On note d la distance usuelle d'un espace métrique E. Si x et y sont deux éléments de E on définit dl( x, y ) = {d(X, y) d(x, 0) + d(a, y) si x et y sont colinéaires s'ils ne le sont pas. 1) Montrer soigneusement que dl est une distance sur E. On l'appelle distance SNCF,

" x , y   E 2 , d (x , y )  0 ⇒ x  y "  x , y   E 2 : d  x , y   d  y , x "  x , y , z   E 3 , d  x , z   d  x , y   d  y , z  On peut définir cette notion sur un espace quelconque , il sera alors métrique On définit également pour toute partie A de E :d x, A  inf d x, y  yA Rem : d  x , A   0 ⇒ x  A 3°) Des exemples de normes : • Soit E  K n , x  x1 ,...., xi ,..., xn  , on définit 3 normes :

: les traboules à Lyon, …). ESPACE PUBLIC - INTRODUCTION 1/ Certains espaces sont d’abord dédiés à la circulation et à la distribution des édifices §- Rue : dans une agglomération, c’est une voie bordée, au moins en partie, de maisons ou d’immeubles ; elle s’oppose à la route qui est une voie de communication reliant des agglomérations. §- Avenue : (étym. (1549) de avenir, arriver) Historiquement, l’avenue était l’artère par laquelle on entrait dans une agglomération ou qui conduisait à un

France Licence Sciences, Technologies & Santé Spécialité Mathématiques L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr Cours d’Analyse III Fonctions de plusieurs variables 1 2 Table des matières 1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie de Rn . . . . . 1.5 Normes

exemples. Un espace topologique est un ensemble muni d'une structure très générale (la topologie), qui permet de définir la notion de voisinage d'un point. Cette structure offre le langage pour définir les notions de continuité et de limite. Un espace métrique est un espace topologique dont la topologie est définie au moyen d'une distance. Cette dernière permet d'estimer la taille d'un ensemble (diamètre), la proximité par rapport à un point, etc. Un espace uniforme est un espace topologique dont la topologie

2 Précompacité On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). p ¦ ¢ £ £ £ ¤¤¥¤¢ © ¡ Définition On dit que la famille xi ; i i 1  ¢ ©  ¢ © 1 p d’éléments de X est un ε-réseau de X si X= B xi ε où B x ε désigne la boule fermée de centre x et de rayon ε.   ¨ Définition On dit que (X,d) est précompact si ε Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la métrique induite (notée, par abus d’écriture, d): – (Y,d) est précompact

de Hahn-Banach : formule de Cauchy vectorielle, séries de Laurent et formule du rayon spectral, théorèmes de Runge et Liouville, etc. 5. Propriétés isométriques : Une propriété frappante de ces isométries est dégagée au chapitre I : la structure métrique d’un espace vectoriel normé détermine sa structure linéaire (Ex.I.9). Dans le cas hilbertien, on peut dire beaucoup plus, et le groupe des isométries surjectives (groupe unitaire) est très riche : en dimension finie, cette richesse est déjà connue

AVENUE AVENUE: Terme formé sur le participe passé du verbe avenir (du latin advenire)." Chemin par lequel on arrive en un lieu. Voie ; accès… Par extension, le terme désigne une voie plantée d'arbres qui conduit à une habitation. Allée menant au château. " Enfin, au XIXe siècle apparaît le sens moderne d'avenue. Large voie urbaine d'accès. Boulevard, cours, mail, rue… Véritable système, les avenues aboutissent généralement sur une place ou un rond point, mettant en valeur un

ralentir par rapport à celles qui en sont plus éloignées. Sommaire [masquer] 1 En relativité restreinte 1.1 Exemple 1.2 Vérifications expérimentales 1.3 Paradoxe apparent de la symétrie 2 En relativité générale 2.1 Description du phénomène 2.2 Métrique de Schwarzschild 2.3 Cas d'un trou noir 2.4 Résultats expérimentaux 3 Notes et références 4 Annexes 4.1 Bibliographie 4.2 Articles connexes En relativité restreinte[modifier | modifier le code] Exemple[modifier | modifier le code] Considérons