Voie normale

covariance est égale à la moyenne des produits moins le produit des moyennes. Analyse du risque d'exploitation 2ème partie 13 Exemple Une entreprise vend deux produits P1 et P2 Information Leurs quantités respectives suivent une loi normale dont les paramètres sont les suivants : • Pour P1 => Moyenne => E(P1) = 5 000 => Écart type = (P1) = 1 000 • Pour P2 => Moyenne => E(P2) = 1 500 => Écart type = (P2) = 500 Vous disposez par ailleurs des informations suivantes : Prix de vente

d’appeler nombre normal tout r´el de [0, 1] tel que la fr´quence e e de chacun des 10 chiffres d´cimaux 0, 1, . . . 9 dans le d´veloppement d´cimal e e e illimit´ de ce nombre converge vers 1/10. Nous avons ainsi obtenu un r´sultat de e e th´orie des nombres qui s’´nonce ainsi : l’ensemble de tous les nombres normaux e e Ch. Suquet, Probabilit´s e 131 Chapitre 6. Loi des grands nombres de [0, 1] a pour longueur 1 (on dit aussi presque tout nombre de [0, 1] est normal). Ce r´sultat

prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.  Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance  et d'écart-type .  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?  2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0

de 1% de vis défectueuses, quelle est la probabilité de rejeter un lot. Exercice 3 : Modèles continus Une machine est chargée de remplir des bidons d’une contenance nominale de 5 litres. On considère que le processus de remplissage suit une loi normale de moyenne 5 litres et d’écart type de 0,1 litres. 1. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant moins de 4,85 litres. 2. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant entre 4,95 et 5,05 litres. 3. On remplit un

(ou que Yi = 0, ce qui revient au même). On remarque alors que : La seule différence entre les modèles probit et logit est la spécification de F. 3.1. Probit Le modèle PROBIT est celui pour lequel F est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : Ce qui donne : 3.2. Logit Le modèle logitest celui pour lequel F est la fonction de répartition de la loi logistique: Ce qui donne :

arrondis à 10−3 près. Partie A : Conditionnement des pots 1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202. 2. On note σ ′ le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555. c. Z = X −50 σ′ ⇔ X = σ ′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p ¡ σ ′Z +50 6 49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 − 1 σ′ ¶ = 0,06 On doit donc avoir − 1 σ′ = −1,555

dans l’énoncé. Exercice 4: Soient X1, ….Xn , n variables aléatoires indépendantes de même loi, d’espérance mathématique m et de variance . Montrer que -m) → N(0, ). Exercice 5 : Soit ( un échantillon de variables aléatoires suivant une loi normale N(2, 4) avec n=25. I. 1) Déterminer la loi de la variable = 2) Calculer P (; P ( ; P ( 3) soit a) déterminer k pour que y suit une loi bien déterminer, en déduira son espérance et sa variance. b) - déterminer a tel que P( - déterminer

caractère est quantitatif (taille des individus,...), X sera une variable aléatoire égale aux valeurs du caractère ; on supposera en général que X est une variable aléatoire d’espérance mathématique (moyenne) , d’écart-type , et éventuellement de loi normale. Lorsqu’on n’a pas accès à l’ensemble de la population, on procède à un échantillonnage, i.e. au choix de n individus dans la population, sur lesquels on observe la valeur x du caractère X. On aura ainsi un échantillon X 1 , X 2 , . . . , X n est

pour prélever des pixels. Pour cela, enfoncez la touche Alt et cliquez sur la zone désirée 2) Appliquer l’outil, glissez sur la zone à corriger. Les options de l’outil Correcteur Il existe deux modes pour l’outil correcteur. Le Mode Normal est le mode de base il donne le plus d’efficacité a cette outil Le Mode Remplacer qui converti votre outil Correcteur en un outil Tampon. L’outil correcteur localisé L’outil Correcteur localisé permet de supprimer rapidement

probabilité ‫.59,0 = ݌ − 1 = ݍ‬ Donc ࢄ suit la loi binomiale de paramètres ࢔ = ૝૙ et ࢖ = ૙, ૙૞. ଶ 2°) ܲሺܺ = 2ሻ = ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05ଶ × 0,95ଷ଼ ≈ ૙, ૛ૠૠૠ ଴ 3°) ܲሺܺ ≥ 1ሻ = 1 − ܲሺܺ = 0ሻ = 1 − ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05଴ × 0,95ସ଴ ≈ ૙, ૡૠ૚૞ C. Loi Normale 1°) Soit ܶ = ௒ିଵଶ଴ , ܶ suit la loi normale centrée réduite ܰሺ0 ; 1ሻ. ܻ − 120 104 − 120 ܲሺܻ ≥ 104ሻ = ܲ ൬ ≥ ൰ = ܲሺܶ ≥ −2ሻ = 1 − Πሺ−2ሻ = 1 − ൫1 − Πሺ2ሻ൯ 8 8 = Πሺ2ሻ = ૙, ૢૠૠ૛ On a utilisé les formules : ܲሺܶ ≥ ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ et Πሺ−ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ ଼ 2°) Calculons