Voie normale

intervalle de confiance, mais on utilise la table de Student, puisque la variable aléatoire est distribuée normalement, que l’écart type est estimé, et que n 30, on applique donc le Théorème Central Limite (TCL), qui nous permet d’utiliser une loi normale ici ; Pas besoin d’utiliser une table de Student. B. Faux, c’est la largeur de l’intervalle qui vaut 2,6 C. Vrai, plus le nombre de sujet augmente, plus l’intervalle de confiance est précis. D. Faux, c’est sa précision qui vaut 1, 3 = Largeur/2

probabilité suivie en toute rigueur par X ? Préciser ses paramètres. 2) On approche la loi de probabilité X par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de cette loi de Poisson. Donner la probabilité de l’événement X ( 2. Sachant que X suit la loi normale N(100,0,4), calculer les probabilités suivantes : p1 = p(X ( 101,2), p2 = p(X > 101,2), p3 = p(99,6 ( X ( 100,4). Quand on jette un dé 12000 fois, quelle est la probabilité d’obtenir plus de 2500 fois le 6 ? d’obtenir entre 1950 et 2050 fois

aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires gaussiens 27 33 37 44 48 56 62 68 72 80 85 90 97 99 105 Mathématiques L1/L2 : statistiques et

de 5% (), cfr calcul des intervalles de confiance). P-valeur (p-value) = P(tobs>=T ou plus extrême|H0)30 ou n=100, 200 ou 300, on va s’assurer qu’on est proche de la normalité (c-à-d que l’échantillon suit une loi normale). Ex : pour les porcs X (prise de poids) suit une loi normale dans l’échantillon, si elle ne l’était pas, ça n’irait pas. Application du test T à une moyenne : 1) On écrit l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative H0 : µ=u0 H1 : µu0 2) La statistique de test : On calcule

trouve e yk = 2907 ha k∈S et k∈S 2 yk = 154593 ha2 . 1. Donnez la valeur de l’estimateur sans biais classique de la moyenne de la population. 2. Donnez un intervalle de confiance ` 95% pour la moyenne. On rappelle que a le quantile d’une loi normale ` 95% est ´gal ` 1, 96. a e a Exercice II.5. Probabilit´ d’inclusion e Soit la population {1, 2, 3} et le plan de sondage suivant : 1 1 1 P[{1, 2}] = P[{1, 3}] = P[{2, 3}] = . 2 4 4 1. Est-ce un sondage al´atoire simple ? e 2. Calculez π1 , π2 et

donn´es X = {x t }N o` x t ∼ p(x) e t=1 u Variable ind´pendante et identiquement distribu´e (iid) e e Estimation param´trique e Famille de densit´s de probabilit´ p(x|θ) e e Estimation θ : les statistiques suffisantes de la densit´ e Avec une loi normale N (µ, σ 2 ), θ = {µ, σ} Estimation de θ ` partir de X a GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 2 / 32 Vraisemblance d’une estimation Vraisemblance d’une estimation param´tr´e par θ e e N l(θ)

de m Th 2 : Théorème de la limite centrée ou théorème limite central Si X1; X2 ; . . . Xn sont n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m et d'écart-type s alors la variable aléatoire suit approximativement une loi normale N (m, ) 2 Loi d'échantillonnage Problème : Etude du lien entre les caractéristiques d'une population et celle d'un échantillon de cette population. Dans cette partie on suppose la population connue et l'on étudie les échantillons. 2.1

entreprise vend 2 types de meubles : M1, M2 respectivement 419 euros et 509 euros l’unité. La demande mensuelle en meubles M1 est : une variable aléatoire X qui suit la loi normale n (85 ; 15). La demande mensuelle en meubles M2 est : une variable aléatoire Y qui suit la loi normale n (52 ; 8). On suppose que X et Y sont indépendantes. Partie A Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande. Ainsi, l’entreprise

de Poisson Lois limites Résumé 67 67 69 70 71 77 80 83 84 87 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités Loi uniforme Loi exponentielle Loi gamma Lois bêta de types I et II Loi de Laplace-Gauss ou loi normale Loi log-normale 89 89 90 92 95 97 100 109 7 • Convolution. Fonctions caractéristiques. Convergences stochastiques 7.1 IV 112 112 Convolution 7.2 7.3 7.4 7.5 Fonction caractéristique Convergence des suites de variables aléatoires Lois

6079 | 1,4479 | -,118 | 9 | ,908 | Réponse : le Sig = 0,908 il est donc supérieur à 0,05 on accepte donc H0 et le fait que m1=m2 avant et après traitement. 3) Test de Kolmogorov-Smirnov Hypothèses  H0 : X suit une loi Normale H1 : X ne suit pas une loi Normale Test de Kolmogorov-Smirnov à un échantillon | | salaire en euro | N | 15 | Paramètres normauxa,b | Moyenne | 1359,67 | | Ecart-type | 71,576 | Différences les plus extrêmes | Absolue | ,177 | | Positive | ,177