Xi

rappelez vous ! écart moyen = ∑ ( xi - x )² NSi ni ≠ 1 écart moyen = ∑ ni × ( xi - x )² NVariance: Remarquez ! Ici on a calculé non

situations, nous dirons que le caractère quantitatif est défini par ses modalités (valeurs discrètes ou classes). Les modalités d'un caractère quantitatif peuvent être prises dans Exemples d'ensembles de modalités. Nombre d'enfants dans une fratrie : {Mi} = {xi}={0, 1, 2, 3, ...}, Mi ? . L'âge, la taille et le poids d'un groupe d'individus représentent globalement une modalité définie dans 3 (à condition que chacune de ces variables soit discrète) L'ensemble des modalités d'un caractère peut être établi à

dirons que le caractère quantitatif est défini par ses modalités (valeurs discrètes ou classes). Les modalités d'un caractère quantitatif peuvent être prises dans ou n . Exemples d'ensembles de modalités. Nombre d'enfants dans une fratrie : {Mi} = {xi}={0, 1, 2, 3, ...}, Mi ? . L'âge, la taille et le poids d'un groupe d'individus représentent globalement une modalité définie dans 3 (à condition que chacune de ces variables soit discrète) L'ensemble des modalités d'un caractère peut être établi à

Statistique et Apprentissage TD 4-5 Notions abordées ◮ Test d’hypothèses ◮ Vocabulaire associé : types de tests, statistique de test, risques ◮ Tests asymptotiques ◮ Tests d’ajustementSommaire du TD Ex 1 - Tests définis par leurs régions critiques Ex 2 - Test sur l’écart-type d’une loi normale Ex 3 - Test asymptotique bilatéral Ex 4 - Test d’hypothèses composites Ex 6 - Test non-paramétrique d’ajustementExercice 1 : Tests définis par leurs régions critiques Enoncé : données de l’exercice Soit X

x4 + x5 peut s'écrire 5 ∑ xi i =1 Dans cette expression, i est une variable qui prend successivement les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 : le « i=1 » qu'on trouve sous le Σ indique que la valeur initiale de la variable i est 1 ; le « 5 » qu'on trouve au-dessus du Σ indique que la valeur terminale de la variable i est 5. La variable xi est une fonction de la variable i, c'est-à-dire que sa valeur dépend de la valeur de i : quand i = 1, xi = x1 ; quand i = 2, xi = x2 ; et ainsi de suite. Enfin

contradiction avec (∗) . On vient ainsi de d´montrer que X est de noyau nul donc inversible ( X est e une matrice carr´e ). e m00xp2c.tex - page 1 n b) On suppose que ∀i ∈ {1..n} n j=1 Xij vj ≥ 0 et que vi1 = min vi < 0 . 1≤i≤n Alors Xi1 i1 vi1 = j=1 Xi 1 j v j + j=i1 (−Xi1 j ) vj ≥ j=i1 car − Xi1 j ≥ 0 pour j = i1 . On divise ensuite par vi1 < 0 et on obtient Xi1 i1 ≤ (∗) . j=i1 (−Xi1 j ) vj ≥   j=i1 (−Xi1 j ) vi1  (−Xi1 j ) , qui est encore incompatible avec 4. Soit un entier p fix´

famille de réels x1 ; x2 ; ... ; xN que l'on a rangé dans l'ordre croissant : x1  x2  ...  xN (Certains de ces réels peuvent être confondus) Vocabulaire : x1 s'appelle le terme de rang 1 (ou d'indice 1), xi le terme de rang (ou d'indice) i (1  i  N) N représente l'effectif total. On note (xi )1iN cette famille de réels qu'on appelle encore "série statistique". Exemples : L'élève A a obtenu les 8 notes suivantes : x1 = 5 x1 = 2 x1 = 6 x1 = 0 x2 = 5 x3 = 6 x4 = 9 x5 = 10 x6 = 12 x7 = 13 x8 = 13

j  2 xi  2 z j )  y1 x1  y2 x2  4 xi  2 z1  2 z2 j j 1 i 3 b) ∑2( y  4)  2( y  y i 1 2  y3 )  24 i 1 Exercice (2) : j 2 Développez les expressions suivantes: ∑( x  ai ) , 2 j ∑( z j 1 i 2 j 3 i 1 j 1  ∑( x j ( xi2  a) ∑ y , j 1 j 3 2 i i 2 i 2 j 3 ∑( xi  3)( y j  2) , ∑ ∑2 yij , i 1 i 1 j 1 j 3 i 2  x j  yi , j 1 i 1 j 2 i 3 j 1 i 1 a. Exercice (3) : Développez les expressions suivantes et commentez : xi ,  i

peut mesurer: 1. La tendance centrale 2. Les caractéristique de position 3. La dispersion  Il existe plusieurs indicateurs possibles pour la valeur centrale ou la dispersion. 2 Les moyennes:  La moyenne arithmétique simple:  1 n x   xi n i 1  Le moyenne arithmétique pondérée: x  n x i 1 p i p i n i 1 i Les moyennes:  La moyenne arithmétique sur des données catégorielles: On prend ci le centre de la classe i comme valeur représentative pour cette

échantillon empirique. x1 < x 2 < L < x n On va noter F’(x) la fonction de répartition empirique ou fonction des fréquences cumulées. F(x)=Prob(X≤x) est la fonction de répartition théorique ou encore c’est la probabilité de l’événement “X≤x” F’(x)= xi ≤ x ∑ fi F’(x) converge en probabilité vers F(x) : F’(x) → F( x ) Définition de la vraisemblance d’un échantillon P • Cas discret : Soit (X1, X 2 , K, X n ) un échantillon théorique X : variable aléatoire discrète caractérisée par