Xi

XI. 1 CHAPITRE XI : Le magnétisme Les scientifiques n'ont découvert qu'au XIXème le lien qui existe entre le magnétisme et l'électricité. Pourtant le magnétisme était connu depuis fort longtemps. Son observation remonte aux anciennes civilisations d'Asie mineure : certaines roches, provenant de Magnésie, en Asie mineure, avaient la propriété de s'attirer, d'où l'origine du nom donné à ce phénomène, le magnétisme. Dès le XIème siècle, les marins chinois utilisaient des aimants naturels comme

l’on dispose de N observations yi , ∀i = 1, .., N d’une variable endogène dichotomique codée yi = 1 ou yi = 0 par convention, lorsque parallèlement les observations de K variables exogènes sont xi = x1 ..xK , ∀i = 1, .., N . Dans ce cas, le modèle linéaire simple i i s’écrit : ∀i = 1, .., N (1.2) yi = xi β + εi (1,1) (1,K)(K,1) (1,1) où β = (β 1 ...β K ) ∈ RK désigne un vecteur de K paramètres inconnus et où les perturbations εi sont supposées être indépendamment distribuées. On peut alors mettre

consommateurs sont des indices inf´erieurs. – xi := (x1i , ..., xi , ..., xLi ) ∈ RL d´enote une consommation g´en´erique du consommateur i. – Chaque consommateur i est caract´eris´e par : 1. un ensemble de consommation Xi ⊆ RL . Dans ce cours, l’ensemble de consommation de chaque consommateur sera identifi´ e` a l’orthant positif de l’espace des biens, c’est-` adire : Xi := RL+ pour tout i = 1, ..., I 2. des pr´ef´erences repr´esent´ees par une fonction d’utilit´e ui de Xi dans R, 3. une dotation initiale de

Calcul des valeurs et vecteurs propres d’une matrice Calcul des valeurs propres 2.1 Par d´finition, les valeurs propres d’une matrice r´elle A ∈ e e Mn (R) sont les racines de son polynˆme caract´ristique PA d´fini o e e par PA (X) = det(A − XI) Normalement, la connaissance des valeurs propres n´cessite le e calcul de PA . Il existe plusieurs m´thodes directes permettant de e le d´terminer telles que les m´thodes de Krylov (1931), Leverrier e e (1840), Souriau Faddeev (1948), Danilesky (1937)

2 Ig est X X xi := supf xi = J I; J est …ni g. i2I i2J b) La famille fxi = i 2 Ig est dite sommable lorsque 1.3.2 Proposition P i2I xi est …ni. Soient fxi = i 2 Ig et fyi = i 2 Ig deux sous - ensembles non vides de R+ , et c un nombre réel positif. Alors on a X X X X X X X a) (xi + yi ) = xi + yi ; b) cxi = c xi ; c)[8i 2 I; xi yi ] ) xi yi : i2I i2I i2I i2I i2I i2I i2I Preuve: a) - Pour toute partie …nie J de I on a X X X (xi + yi ) = xi + yi X i2I i2J i2J (xi + yi ) =

distribution des couleurs des voitures dans un parking xi ni Rouge Blanche Verte Jaune Noire Grise l’ e¤ectif maximal est 7 2 7 5 7 5 7 La variable est qualitative. Ici on a trois modes: Blanche, Jaune et Grise. Cette distribution est plurimodale. FSR (Institute) SVT 2013-14 3 / 45 Le mode: Variable qualitative ou quantitative discrète Examples Considérons la distribution des notes d’ groupe d’ un étudiants. xi ni 8/20 9/20 10/20 11/20 12/20 13/20 14/20 2

fi = ni n n i=1 n i=1 n Vt V0 −1 xi = x1 + x2 + x3 + ... + xn−1 + xn xi = x1 × x2 × x3 × ... × xn−1 × xn ou fi % = ni n × 100 La médiane : M = xi + ai 0,5−F (xi ) fi Avec : – xi la borne gauche de la classe médiane ; – ai l’amplitude de la classe médiane ; – fi la fréquence relative correspondante ; – F (xi ) la fréquence cumulée correspondante. La moyenne arithmétique, x : x = 1 n n i=1 xi ou x = 1 n k i=1 k i=1 fi xi n i=1 La moyenne arithmétique pondérée :

simple Soit un échantillon f(xi ; yi ) : i = 1; :::; N g. Les estimateurs des MCO, ^ 0 et ^ , sont obtenus par la minimisation du carré des résidus: 1 min N X i=1 ^ ;^ 0 1 (yi ^0 ^ 1 xi )2 ; où le résidu des MCO pour l’ observation i est dé…ni par ui = y i ^ ^0 ^ xi : 1 Donc, les estimateurs des MCO sont ceux qui minimisent le carré des résidus. Les conditions de premier ordre sont: N X (yi ^ ^ 0 ^ xi ) = 0 1 ^ xi ) = 0 1 i=1 N X i=1 xi (yi 0 La première équation

:R→R n+1 valeurs yi = f (xi ) en n+1 points xi 0 ≤ i ≤ n : on veut dénir le polynôme pn (d'interpolation) de degré n tel que pn (xi ) = yi pour tout i = 0, ..., n. Donc f et pn ont leurs graphes qui passent par les points (xi , yi ) pour tout i = 0, ..., n. terpoler) une fonction dont on connaît les distincts (interpolation de Lagrange), Dénition 1.1 Les points Et le polynôme de degré xi sont appelés points de collocation. n dont le graphe passe par les points (xi , yi ) pour i = 0, ..., n

précompacité nous donnera un critère de compacité des espaces complets. 2 Précompacité On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). p ¦ ¢ £ £ £ ¤¤¥¤¢ © ¡ Définition On dit que la famille xi ; i i 1  ¢ ©  ¢ © 1 p d’éléments de X est un ε-réseau de X si X= B xi ε où B x ε désigne la boule fermée de centre x et de rayon ε.   ¨ Définition On dit que (X,d) est précompact si ε Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la