Xi

Sommes et produits 2.2 2.2.1 Chapitre 2 : Calculs algébriques Sommes et produits Sommes et produits finis Définition 2.2.1 Soit I un ensemble fini, et (xi )i∈I une famille de nombres complexes. On note xi la somme des xi , et on note i∈I xi leur produit. i∈I Dans le cas où l’ensemble I est vide, on convient que xi = 0, et que i∈I xi = 1. i∈I Remarques – Dans les notations précédentes, il faut bien comprendre que chaque indice i apparaît une fois et une seule, dans la somme ou dans le produit

Variable X x1 x2 Variable Y y1 y2 xi yi xn yn On étudiera ce type de tableau lorsque les variables sont quantitatives dans le cours sur la corrélation. Tableau de contingence : On a regroupé les individus qui ont les mêmes caractéristiques par rapport aux deux variables X et Y. Dans le tableau de contingence, on donne les effectifs correspondants. Modalités x1 x2 y1 y2 yj yp n 1p n 2p n 11 n 21 n 12 n 22 n 1j n 2j xi n i1 n i2 n ij n ip xk

| 100%98.04%95.92%92.14%68.27%40.33%24.47%9.81%2.12% | Xi=modalités de la variable Ri=effectifs correspondant a la variable Intervalle=classe Exemple [2000-4000[ Borne inferieur =la valeur est comp^rise dans l intervalle Borne supérieur= la valeur 4000 est exclue Le centre de la classe :borne inferieur +borne supérieur/2 2000+4000/2=3000 III CARACTERISTIQUE DE POSITION Mode Voir polycopier 1 cas d une variable discréte XI | ri | 0 | 26 | 1 | 133 | 2 | 274 | 3 | 128 | 4

rectangles à gauche : Sur l’intervalle [ xi , xi +1 ] (0 ≤ i ≤ n − 1) , on remplace f par la fonction constante f i définie par : f i (x ) = f (x i ) x ∈ [ x i , x i +1 ] (0 ≤ i ≤ n − 1) On fait l’approximation suivante : x i +1 ∫x i xi+1 ∫x i f (x )dx ≈ ∫ x i +1 xi f i (x )dx = (x i +1 − x i )f (x i ) = b −a × f (x i ) n f ( x)dx est égale approximativement à l’aire du rectangle de base [ xi , xi +1 ] et de hauteur f ( xi ) . Par sommation on obtient : b

Les valeurs du caractère = x1, x2,…, xi,…, xn Notes x1 x2 x3 x4 Nbre d’étudiants 10 x1 25 x2 12 x3 4 x4 x1, x2,…, xi,…, xn= N =effectif total 2. Les effectifs sont symbolisés par : x1, x2,…, xi,…, xn 3. Fréquence relative : Fi = effectif de la modalité i / effectif total 4. L’opérateur somme ( Notation : n variables x1+ x2+…+ xi+….+ xn= ∑ xi i =1 n ∑ ) Propriétés : ∑ axi = a∑ xi i =1 i =1 n n ∑ a + xi =∑ a∑ xi = n.a + ∑ xi i i =1 n n 5. L’opération de

lancer → gain Exemple : X (ppp) = 6 et X (FFF ) = −3. lancers gains associés (PPP) +6 (PPF ) +3 (PFP) +3 (PFF ) 0 (FPP) +3 X prend les valeurs −3 ; 0 ; 3 ou 6. Chance d’obtenir chacun des gains (loi de X ) : gains : xi P (X = xi ) 6 1/8 3 3/8 0 3/8 −3 1/8 (FPF ) 0 (FFP) 0 (FFF ) −3 Variables aléatoires. Couples de variables aléatoires. Sommes de variables aléatoires indépendantes. Exemple. Tous les lancers possibles (univers) :

formé de n observations indépendantes (X1 = x1 , . . . ,Xn = xn ) de la variable X. – On estime θ a l’aide d’une v.a. θˆ = T (X1 , . . . ,Xn ) 3.2 Qualités d’un estimateur : Soit : – θ : paramètre à estimer. – T : estimateur (c.à.d. une fonction des Xi à valeur dans un domaine acceptable pour θ). 9 3.2.1. Biais d’un estimateur : Définition 1. Le biais d’un estimation est l’écart entre la vraie valeur et la valeur indiquée, c.à.d. le paramètre à estime θ. On parle aussi de déformation systématique

s'écrit pour ce type de modèle: N N S    yi  f xi ;    yi   xi    2 i 1  2 i 1 Le minimum de cette expression est trouvé quand les deux dérivées partielles ∂S/∂α et ∂S/∂β sont égales à zéro: N S   2  yi   xi    xi   0  i 1 N S   2  yi   xi    1  0  i 1  Ce qui donne le système d’équations suivantes: N N   x    xi  i 1 N 2 i   xi   i 1 i 1  N x i i 1 yi N

| et on note : |p(A) = avec 0 p(A) 1 | Exemple : Nombre annuel de pannes de 500 équipements identiques. |Nombre annuel de pannes : xi |Pas de pannes |1 panne |2 pannes |3 pannes | |Nombre d’équipements concernés : ni |385 |70 |30

Continues : X(Ω) infini non dénombrable X(Ω) représente l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X Loi de Probabilité : Si Pi = P(X=xi) représente la probabilité que X=xi pour chacune des valeurs possibles de xi ; alors (xi ; pi) constitue la loi de probabilité de X. Xi représente un résultat : la probabilité du résultat xi dans X appartenant à Ω est égale à pi Fonction de répartition : Obtenue en cumulant les valeurs des probabilités qui sont inférieures ou égales à la