Xi

FICHE 1 Méthode des points extrêmes Années 2 000 2 001 2 0002 2 003 2 004 Ventes (K €) 1 200 1 310 1 420 1 540 1 680 Années Xi 1 2 3 4 5 Ventes (K €) Yi 1 200 1 310 1 420 1 540 1 680 1. Prendre les cordonnées du premier point de la série et le traduire sous forme d’équation de type Y = a X+b ICI, on obtient 1200 = 1 a + b 2. Prendre les coordonnées du dernier point et le traduire sous forme d’équation de type Y = a X + b ICI, on obtient

Somme) permet d’´crire l’expression e i=n i=n (xi + a) = xi + i=1 i=1 i=n x1 + x2 + x3 + · · · + xn a i=1 = xi i=1 de mani`re tr`s synth´tique. e e e +a + a + ··· + a i=n nfois xi = x1 + x2 + x3 + · · · + xn i=n = i=1 Exemple : Les notes de 4 ´tudiants sont : e x1 = 10, x2 = 14, x3 = 18, x4 = 6 xi + na i=1 Exemple : i=4 xi = 10 + 14 + 18 + 6 = 48 ⇒ i=6 i=6 (xi + 4) = i=1 i=1 i=1 1-8 1-10 0.4.2- Commutativit´

montrer que les polynômes définis par : n Li (x) = j=0 j=i (x − xj ) , pour i ∈ 0, n forment une base de Rn [X]. (xi − xj ) 2 - On donne de plus (n + 1) réels : y0 , y1 , y2 , . . . , yn . Montrer qu’il existe un et un seul polynôme L de Rn [X] tel que : ∀i ∈ 0, n , L(xi ) = yi . Ecrire L à l’aide des Li . 1 n n 3- Calculer les sommes : i=0 Li (x) et i=0 xi Li (x). 4 - Soit φ la fonction définie sur R+ par : φ(t) = 1 , a désignant un réel strictement positif. Aux réels

intéressant de représenter les données, comme sur la figure 1.1. 10 15 20 T12 25 30 Figure 1.1 – 10 données journalières de température et d’ozone. Pour analyser la relation entre les xi (température) et les yi (ozone), nous allons chercher une fonction f telle que : yi ≈ f (xi ). Pour préciser le sens de ≈, il faut se donner un critère quantifiant la qualité de l’ajustement de la fonction f aux données. Il conviendra aussi de se donner une classe de fonctions F dans laquelle

· · , xn = b, n ∆xi = xi+1 − xi • et en calculant la somme des aires des rectangles de base b−a et de hauteurs n f (x1 ), · · · , f (xn ) : b−a In= [f (x1 ) +· · ·+ f (xk ) +· · ·+ f (xn )] n Définition (Propriété admise): n 2.5 2 1.5 1 0.5 (b-a)/n 0 a 0.5 1 1.5 2 2.5 b x Valeur approchØe =5.470628265 Valeur exacte =5.443664273 3 1-Intégrale double 2-Intégrales triples 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 Si f est continue sur [a, b] alors lim n→+∞ f (xi )∆xi = I(f ). i=1 I(f

compose : * D’une colonne indiquant les différentes modalités de la variable xi ; * D’une ou plusieurs autres colonnes indiquant l’effectif correspondant à ces diverses modalités. Mais selon que la variable est discrète ou continue, les tableaux se présentent de la façon suivante. 1- Tableau concernant une variable directe : Exemple : Distribution du personnel d’une entreprise en fonction du nombre d’enfants. Nombre d'enfants xi 0 1 2 3 4 5 6 et + Effectifs ni 12 31 29 11 4 2 1 Total : 90 Remarque

présentant la modalité xi de la variable X.  D’après la propriété fondamentale d’exhaustivité, la somme des effectifs par modalité est égale à l’effectif total des unités statistiques : ∑ni = n. Le tri à plat sur une variable qualitative regroupe les unités statistiques par modalités, sans perte d’information. La présentation d’une distribution statistique se fait à l’aide d’un tableau. 25 Exemple : Considérons le tableau suivant : Modalités de la variable X xi x1 xi .. .. xk Total  Hypothèse

complexes. ee Le cas le plus fr´quent, celui qui a ´t´ principalement vu en PMS, est celui o` l’´l´ment e ee u ee al´atoire observ´ est constitu´ de variables al´atoires ind´pendantes et de mˆme loi (i.i.d.) : e e e e e e X = (X1 , . . . , Xn ), o` les Xi sont i.i.d. On dit que l’on a alors un mod`le d’´chantillon. u e e Dans ce cas, par convention, si on note (X , A, P) le mod`le correspondant ` un ´chantillon e a e n de taille 1, on notera (X , A, P) le mod`le correspondant ` un ´chantillon de taille

lim (1 + x)α = 2α n=0 x→1− x→1− Exercice 4. 1. Un d´veloppement par bilin´arit´ donne e e e p 2 λi xi i=1 = 1≤i,j≤n λi λj xi |xj Avec l’hypoth`se faite, on a alors imm´diatement e e p p λi xi = i=1 i=1 λi yi Supposons (x1 , . . . , xp ) libre. Soient λ1 , . . . , λp des scalaires tels que λi yi = 0. Ce qui pr´c`de e e donne λi xi = 0 et l’ind´pendance des xi donne la nullit´ des λi . On a donc aussi l’ind´pendance e e e lin´aire de la famille (y1 , . . . , yp ). e 2

1. Définition. Représentation : Une série statistique à deux caractères quantitatifs, xi et yi, est une série double dont les valeurs sont données par les couples (xi; yi) . Cette série est représentée dans un repère orthogonal par les points de coordonnées (xi; yi) qui forment un nuage de points. L'ensemble de ces points forme un nuage de points. Ce nuage peut avoir une forme allongée, curviligne ou très dispersée. Remarque : Si les valeurs d'un des deux caractères sont les mesures du temps