FONCTIONS CIRCULAIRES

Sont appelées fonctions circulaires les fonctions liées au cercle trigonométrique, à savoir notamment les fonctions sinus, cosinus et tangente. Rappelons une façon de définir ces trois fonctions :
H

Si H est l'intersection de la tangente au cercle en I avec la droite orientée (OM) alors tan x = IH . Cette définition prolonge celle déjà connue dans le triangle rectangle. En effet, lorsque x est une mesure d'un angle aigu, on a dans le triangle OIH rectangle en I : tan x = IH IH = = IH OI 1
O x cos x I sin x J M tan x

RAPPELS –1  cos x  1 –1  sin x  1 cos(–x) = cos x (la fonction cosinus est paire) sin(–x) = –sin x (la fonction sinus est impaire)
J'

Exercice : par un raisonnement géométrique, démontrer que : sin x  x  tan x pour tout x Î [0 ;

p [. 2

I) Fonction périodique Définition : Soit ¦ une fonction définie sur un domaine D¦ et T un nombre réel non nul. On dit que ¦ est périodique de période T (ou T–périodique) si : pour tout réel x Î D¦, x + T Î D¦ et ¦(x + T) = ¦(x) Exemples : les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions 2p–périodiques définies sur . Cela se traduit par les relations : cos(x + 2p) = cos x et sin(x + 2p) = sin x pour tout réel x.

Intérêt : dès qu'une fonction T–périodique est connue sur un intervalle de longueur T, alors elle est connue sur tout son ensemble de définition. Il suffit de compléter la courbe par translation de vecteur k T i (k Î ). Pour étudier (ou tracer) une fonction périodique, on se limite donc à une période. Notons que si T est une période, tout multiple de T en est une autre : ... = ¦(x + 2T) = ¦(x + T) = ¦(x) = ¦(x – T) = ¦(x – 2T) = ... Application : calculer cos(73p). Puisque 2p est une période de la fonction cosinus, 36´2p = 72p en est une également, on a donc cos(73p) = cos(p + 72p) = cos(p) = –1.
®

Méthode pour trouver la période d'une fonction trigonométrique : Commençons par un exemple : ¦(x) = cos 3x ; T = ?

Fonctions circulaires

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